新定义“中外比点”——2025年广东省中考数学第23题

新定义“中外比点”

2025年广东省中考数学第23题

其实就是黄金分割，只不过换了个马甲而已。

人教版初中数学九年级上册第18页，专门有篇阅读与思考材料，讲述了黄金分割数，如下图：

说起线段的分割，我们在小学阶段就体验了平均分概念，从数的平均分，到形的平均分，七年级数学中学习过线段中点，以此为基础，进一步了解三等分、N等分，在学习数轴的时候，上面的单位长度也是一种等分。

而像黄金分割这样的“不等分”，学生接触并不多，但在实际生活中又极其重要，因此教材中安排了这段材料，在前面学习过无理数、二次根式、一元二次方程之后，再来理解黄金分割，就具备了起码的知识储备。

这段阅读与思考材料，在教学中，需要帮助学生理解黄金比是如何得到的，形的问题如何转换成数的问题，让学生学会用代数推理去研究图形问题。

题目

定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点.

(1)如图1，点P是线段MN的中外比点，MP>PN，MN=2，求PN的长；

(2)如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比.(保留作图痕迹，不写作法)

(3)如图3，动点B在第一象限内，反比例函数y=k/x(k>0,x>0)的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D，E，与对角线OB相交于点F.当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F是否分别为AB，BC，OB的中外比点，并证明.

解析：

01

(1)不妨设PN=x，则PM=2-x，按中外比点的定义，PM是大线段，PN是小线段，整体线段是MN，于是可得2:(2-x)=(2-x):x，化为乘积式后为(20-x)²=2x，解得x=3-√5，即PN=3-√5；

02

(2)作图依据是人教版初中数学八年级下册第27页，利用勾股定理作长度为无理数的线段，如下图：

由于中外比点将长度为2的线段所分两部分中，较长部分为√5-1，较短部分为3-√5，因此我们需要构造一条长度为√5的线段，不妨将线段AB长度视为2个长度单位，将其作为直角边，画一个直角三角形，使另一条直角边长度为AB的一半，即1个长度单位，则它的斜边长为√5，步骤如下：

第一步，延长AB，以点B为圆心，适当长为半径作弧，交射线AB于两点C和D：

第二步，分别以C、D点为圆心，大于CD一半的长为半径作弧，在射线AB上方，两弧交于点E，作直线BE，则BE⊥AB：

第三步，分别以A、B为圆心，大于AC一半的长为半径作弧，分别在射线AB上、下方交于点F、G点，连接FG，交AB于点H，此时点H为线段AB中点：

第四步，以B为圆心，BH为半径作弧，交直线BE于点K，连接AK，我们便得到了Rt△ABK，它的两直角边分别是1和2，斜边AK=√5：

第五步，以K为圆心，BK为半径作弧，交AK于点M：

第六步，以A为圆心，AM为半径作弧，交射线AB于点N：

则点N即为所求，然后按题目要求，将字母N改为C，其余字母可去掉；

利用上图我们可得Rt△ABK，其中AB=2，BK=1，则AK=√5，而BK=MK=1，则AM=√5-1=AN，所以BN=2-(√5-1)=3-√5；

当然，用这种方法作图，点N不是唯一的，还有偏A点一侧也可以作出中外比点(黄金分割点)，图略；

03

(3)我们先设点B坐标为(m,n)，则E(k/n,n)，D(m,k/m)，对于△ODE是等腰三角形这个条件，需要判断哪个角是直角，显然∠DOE不可能是直角，因此只剩下两种情况，∠OED=90°或∠ODE=90°；

第一种情况，∠OED=90°，如下图：

很容易得到△OCE≌△EBD，因此CE=BD=k/n，OC=EB=n，又BD=n-k/m，EB=m-k/n，于是得到两个等式

k/n=n-k/m①

n=m-k/n②

由①得k=mn²/(m+n)，由②得k=mn-n²，联立这两个式子得

n²=m²-mn；

然后我们来验证点E是否线段BC的中外比点；

计算EB²=n²，再计算CE·BC=k/n·m，将k=mn-n²代入得

CE·BC=m²-mn，由于前面已经有n²=m²-mn，所以得到等式EB²=CE·BC，化为比例式后为BC:EB=EB:CE，符合中外比点的定义，因此点E是线段BC的中外比点；

再来验证点D是否线段AB的中外比点；

计算BD²=(n-k/m)²，把k=mn-n²代入，化简得BD²=n²·n²/m²；

再计算AD·AB=n·k/m，把k=mn-n²代入，化简得n²(1-n/m)；

再将前面所得n²=m²-mn两边同除以m²，得n²/m²=1-n/m，于是得到BD²=AD·AB，化为比例式为AB:BD=BD:AD，符合中外比点的定义，因此点D是线段AB的中外比点；

最后来验证点F是否线段OB的中外比点；

由点B坐标可知OB的解析式为y=n/m·x，与反比例函数y=k/x联立，可求出点F坐标为(√mk/n，√nk/m)，由于求“斜”向长度需要勾股定理，不妨化斜为直，推导如下：

过点F作FM⊥x轴，若点M是线段OA的中外比点，则点F也一定是线段OB的中外比点；

所以点M是线段OA的中外比点，即点F是线段OB的中外比点；

第二种情况，∠ODE=90°，如下图：

同样可得△OAD≌△DBE，因此BE=AD=k/m，BD=OA=m，又AD=n-k/m，BE=m-k/n，得到两个等式

k/m=m-k/n①

m=n-k/m②

由②得k=mn-m²，联立这两个式子得m²=n²-mn，

接下来的验证方法和第一种情况完全类似，不再赘述；

综上，当△ODE是等腰直角三角形时，点D、E、F分别为AB、BC、OB的中外比点.

解题思考

本题源自教材，不禁想到另一个问题，我们的老师，有多少是正经上过这节课？或者是一带而过？甚至压根没讲？毕竟全国各地中考出现黄金分割这个知识点，多数属于送分题；还有尺规作图操作，考场上有一些省市不允许带圆规，那自然也没了操作题，也有省市采用了替代方案，用网格作图或无刻度直尺作图。

2022版新课标中，对于尺规作图是有要求的，“能用尺规作图，作……”的要求有六处，有一处带*号，学生对用圆规作弧、截取操作需要熟练掌握，同时每一步尺规作图背后，一定会有相应的作图依据，学生在进行操作的同时，脑子里也在推理，这个过程完美实现了用数学眼光观察、用数学思维思考、用数学语言表达，恰好是数学核心素养的体现，2025年开始各省市中考题，也逐渐让尺规作图回归，个人认为符合新课标要求。

课堂上我们需要让学生明白的第一个事实，就是为什么会存在这样的“不等分”，和前面学的平均分(等分)相比，意义又在哪里？仅仅通过课前展示几张画、几段视频，学生就能体会到“不等分”的数学美么？无论是公开课也好，我自已上课也罢，当我们在讲台上问学生“舞台上站哪里最美观？”类的问题时，有多少学生是发自内心这样认为？我们前面一直学习的是对称美，突破一下子不对称了，美从何来？

因此，仅仅是让学生观察并判断美不美？这种数学眼光要求太高了，我们可以从特殊的矩形激发学生的兴趣，用一个黄金矩形，它的宽：长=√5-1/2，在它的长边上截取宽的长度，剪下这个正方形，剩下的矩形，再计算它的宽：长，发现仍然是√5-1/2，继续从中剪掉一个正方形，剩下的矩形长宽比不变，成功引起了学生的兴趣，其它的比值的矩形例如1:2有这样的效果吗？

当学生观察这样的矩形时，脑子里有推理、有计算，才能称为数学眼光。