随机动力学读书会丨第五期：Fokker-Planck 方程（下）

导语

从一维的随机过程到高维空间中的随机过程的推广中，由于空间结构的本质改变，因此增加了很多有趣的性质。 本期读书会为随机动力学读书会第五期，北京工业大学数学统计学与力学学院副研究员诸葛昌靖将在上一讲一维 Fokker-Planck 方程的基础上，继续介绍多维 Fokker-Planck 方程并简要汇总梳理前几次读书会的理论内容。

集智俱乐部联合北京工业大学诸葛昌靖老师和北京化工大学王利老师共同发起。采用“一主一辅”的阅读模式，带领大家系统研读随机过程领域的两部经典著作，主读文献《Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences》 ，辅助文献《Stochastic Processes in Physics and Chemistry》，通过物理直觉启发与数学理论推导的交织，助力参与者构建完整的随机动力学逻辑结构和知识体系。

报告简介

本次读书会在上一讲基础上，讨论多维 Fokker-Planck 方程及概率流在高维空间中的散度结构和平稳态解存在性等问题。通过引入细致平衡探讨对称性约束，并以此为基础得到 Onsager 倒易关系等内容。还将介绍描述相空间中轨道动力学的 Kramers 方程。最后，通过单步过程与化学主方程等内容为例展示从概率分布到平均方程等方面的应用。

分享大纲

1. 多维 Fokker-Planck 方程

2. 细致平衡与 Onsager 倒易关系

3. 相空间动力学与 Kramers 方程

4. 单步过程与化学反应动力学

5. 其他应用

核心概念

概念一 多维Fokker-Planck方程

概念：描述高维状态空间中扩散 Markov 过程概率密度演化的偏微分方程。在数学语境中通常被称为 Kolmogorov 前向方程。

概念二 细致平衡

概念：细致平衡是平稳 Markov 过程在时间反演下的一种对称性。即系统的概率流在任何两个微观态之间互相抵消。

概念三 Onsager倒易关系

概念：在线性不可逆过程的稳态附近，通量与热力学驱动的线性耦合矩阵 L 满足 Lij = εiεj Lji。

性质：该关系可由细致平衡直接推导，证明不同输运过程的交叉效应受时间反演对称性约束。

应用：Onsager关系是线性非平衡热力学的基石，用于解释热电效应等交叉输运现象，并稳固支撑涨落耗散定理，例如Nyquist公式中噪声强度由耗散元件和温度唯一确定。

概念四 Kramers方程

定义：Kramers 方程是一种特殊的多维 Fokker-Planck 方程，描述粒子在力场中位置 y 和速度 u 的联合概率演化。经标度化后其形式为

性质：该方程完整保留了粒子的惯性项和速度弛豫项，属于欠阻尼动力学。

应用：Kramers 方程是处理势垒逃逸问题的核心框架，为计算化学反应速率提供微观动力学基础，能够给出Arrhenius 因子及其前因子，广泛应用于转移速率的分析。

概念五 化学反应动力学

概念：化学反应随机性源于分子间偶然碰撞，进而构建描述分子数概率演化的化学主方程。

性质：转移概率 W 与反应物分子的可能组合方式成正比。在系统规模 Ω 趋于无穷的极限下，离散的随机主方程会收敛于确定性的宏观速率方程。

应用：可以将复杂的离散主方程近似为宏观方程加上线性高斯涨落，即线性噪声近似，从而定量分析化学系统中的噪声分布与平稳态性质。

主讲人介绍

主讲人：诸葛昌靖，北京工业大学数学统计学与力学学院副研究员，清华大学数学博士，研究方向：计算系统生物学。致力于数学与生物医学的交叉研究，聚焦癌症的演化机制及放化疗、血液病、网络药理学及传染病等复杂生物医学问题的多尺度动力学建模与分析。

时间信息

2026年5月7日（周四）晚19:30-21:30,腾讯会议线上进行,微信视频号+集智俱乐部B站号同步直播, 感兴趣的朋友扫码报名加入随机动力学读书会后，可进入学员群进行交流。

报名读书会：「随机动力学」

本次读书会由诸葛昌靖、王利两位老师共同发起，采用“一主一辅”的阅读模式，带领大家系统研读随机过程领域的两部经典著作，通过物理直觉与严谨理论的交织，助力参与者构建完整的随机动力学知识体系。读书会将于2026年4月9日起每周四晚上（创建读书会暂定时间为19:30-21:30）线上开展，持续约10周，包含主讲分享与讨论交流，并提供会后视频回放，诚邀相关领域研究者及跨学科兴趣者参与。

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