湖北
【解题研究】新定义“伴随对称抛物线”——2026年江西省中考数学第23题
在二次函数压轴题中，抛物线加几何图形是常态，双抛物线题型了，平移也是常态，但2026年江西省中考数学第23题的双抛物线，却用了另一种比较少见的形式——中心对称；
当两条抛物线出现在平面直角坐标系中的时候，它实质上也具备了一些分段函数的特征，在这个背景下探究点、线间的关系，依然还是二次函数图象性质的拓展，对学生而言，理解新定义中的“伴随对称抛物线”，并研究它的图象性质，正是九年级学习二次函数经验的迁移。
题目
职位描述
如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为”伴随对称抛物线“.
(1)试判断y=x²-4x+4与y=-x²+2x是否互为”伴随对称抛物线“，并说明理由；
(2)如图1，若C1：y=a1(x-h1)²+k1与C2：y=a2(x-h2)²+k2互为”伴随对称抛物线“，顶点分别为A1，A2，记C1，C2组成的图形为C.
①试猜想a1与a2的数量关系，并证明；
②进一步探究可知C为中心对称图形，请确定C的对称中心的位置；(直接写出结果)
③如图2，若C1：y=x²，h2>0，B1，B2分别为C1，C2上的点，且四边形A1B1A2B2为正方形，求(h2-2)(h1-1)(h2+1)的值.
解析：
0 1
(1)分别求出这两条抛物线的顶点为(2,0)，(1,1)，再分别代入另一条抛物线后，即可判断它们是“伴随对称抛物线”；
0 2
(2)①根据新定义，将这两条抛物线的顶点分别代入另一条抛物线解析式中，可得它们间的关系式，推导如下：
②题目已经给出了中心对称图形，而这两条抛物线的顶点就是对应点，所以直接根据中心对称的概念，对称中心就是两顶点连线的中点，即
③由正方形A1B1A2B2可建立顶点B1和B2坐标的关联，我们分别过这两点向x轴作垂线，如下图：
很容易证明△A1B1E≌△B2A1F，不妨设点B1(m,m²)，可得点B2(m²,-m)；
我们把点A2(h2,k2)代入y=x²中，得k2=h2²；
把点(0,0)代入y=a2(x-h2)²+k2中，得0=a2h2²+k2，将k2=h2²代入后，得a2=-1，即y=-(x-h2)²+k2；
再将B2代入C2中，推导如下：
解题思考
在含参二次函数题型中，学生感到最困难的就是寻找参数间的关系，由于字母较多，不容易摸清它们之间源自何处，去往何方，我们平时解决较简单的二次函数问题时，其实已经隐藏着含参问题的方法，一般而言，点在函数图象上，可以将点坐标代入该函数解析式得到一个含参等式；函数图象交点则可联立方程，方程的解即为该点的横坐标；线段长度可用端点坐标表示等。方程即为含未知数的等式，所以这一系列等式，就刻画出题目中参数间的关系。
有学生在代入参数的时候，有时会陷入恒等的怪圈，原因是把源自同一个关系的不同等式相互代入，那自然会变成恒等式，这需要学生理解每一次代入，等式的源头在哪里。
我们在课堂上接触到的一般是数字系数的解析式和方程，在成功解决这一类问题之后，需要适当进行迁移运用，字母代替数字称之代数，初中学段的符号意识正是需要在课堂上培养的核心素养。
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