各种艺术作品的底层到底是什么原理？（一）

你是一个画家，

会画画。

但是，

今天没灵感，

就画了一个房子+太阳+草地。

但是，

不立体。

我们生活在3D世界，

那么，

你把房子再加几条线，

就立体了。

其实今天说的就这么多东西。

但是，

为啥这样一画

就出现了这么多的神奇的东西？？

回到刚刚的2D图，

不对，

先看这里有条线，

上面有几个点，

那么，

给这条线一个箭头，

并规定一个点为0，

右边就是1,2,3,4,5，

是不是你们初中学的数轴？

刚刚每个点都有数学位置了，

这个数学位置就叫做坐标。

只不过这里只有一个轴，

上面的点的坐标用一个数就能表示。

那么，

再来一轴，

向上，

就是你们初中学的平面直角坐标系，

其中有4个象限，

分别如图：

那么每个点就能用两位数表示坐标。

同时，

也说一个很神奇的东西，

看到这里有两个点，

如果这个点要到下一个点，

就要移动。

其中移动的位置和大小组成的量叫做位移，

其中位移你有没有发现，

刚好是横坐标差和纵坐标差，

这个玩意有两位。

因为有两位，

它就同时存储了大小，

还有方向。

所以这个位移是向量。

（下文里图片里向量表示为子母上面有箭头，

文字里都用加粗代替）

向量就是指有大小有方向的量。

大小用勾股定理算一下就行了。

不会？

如图所示的直角三角形中，

a,b都是直角边，

c是斜边。

a²+b²=c²。

同时也先说一件事，

在直角三角形里，

看到这里有个角，

这个角的对边和直角三角形的斜边的比

就是这个角的正弦，

写成sin。

sin∠A=a/c。

如果是这个角的邻边和

直角三角形的斜边的比就是

这个角的余弦，

写成cos。

cos∠A=b/c。

如果是对边和邻边的比就是

这个角的正切，写成tan。

tan∠A=a/b。

只不过，

我们看到这里有个圆，

半径为1。

那么，

你会发现，

这样一做，

刚好夹角为θ的射线

和圆的交点的坐标就是(cosθ,sinθ)。

当然tanθ=sinθ/cosθ。

同时也能得到

sin²θ+cos²θ=1。

所以，

你可以用这个圆做出一条sinθ和θ关系的图像，

以横坐标为θ，

纵坐标为sinθ，

发现是波浪线。

（一般来说π=180°）

同时还通过这个圆得到一些特殊规律，

sin(θ)=-sin(-θ)，

cos(θ)=cos(-θ)，

sin(θ±π)=-sin(θ)，

cos(θ±π)=-cos(θ)，

回到正题，

看到这里有个向量，

假如说一个向量向上，

一个向量向右，

那么相加，

相当于你同时向上和向右走，

就是向右上方走。

这个就是向量的加减法，

看到这两个向量一个是(1,0)，

还有一个向量是(0,1)，

加在一起就是每一位相加，

(1,0)+(0,1)=(1+0,0+1)=(1,1)。

同时，

如果是这样，

你又往右走了，

你发现了移动到这里，

这时候你发现了，

刚好你从原点到这里，

可以通过走近的路到达，

这个就是三角形法则。

同时向量是可以移动的，

把向量移动到下面，

做个平行四边形的图，

这个就是平行四边形法则。

同时，

向量乘一个数，

就是对向量长度进行缩放。

这个叫做向量的数乘。

如果两个向量乘在一起，

分为点乘和叉乘。

首先说点乘，

你用绳子匀速拉着一个物体，

你斜向上给它拉力F，

拖拽了x米。

那么力和距离都是向量，

那么相当于对物体做了F·x cosθ的功，

夹角是θ。

你发现了，

要乘个cosθ，

虽然你给它斜向上的力，

但是实际上物体只向右移动，

没有向上，

所以，

只考虑同方向，

所以向量点乘a·b=

a长度·b长度·cos(ab向量夹角)。

叉乘等一下再说。

如果在坐标上，

两个向量点乘就是逐位相乘再相加。

例如a是(1,2)，

b是(2,3)，

a·b=1×2+2×3。

那么，

你的画就能用坐标表示出来了。

这里也先说个东西，

看到这里有个东西叫做sin(θ)，

这个玩意叫做三角函数，

那么函数就是f(x)，

输入一个数字，

经过f捣鼓，

就返回值。

其中输入值可取范围是定义域，

输出值可取范围是值域，

例如sin的值域就在-1到1之间。

但是说明一下，

一个输入值只能对应一个输出。

例如f(1)=2，

但不能f(1)=2、3等多个值。

回到正题，

你给房子加了几条线后，

房子就立体了。

很简单，

你从二维空间走向了三维空间。

三维空间，

你在刚刚的x，y轴所在的平面

画了一条垂直的线。

这个就是所谓的z轴。

那么，

（本文章使用右手坐标系）

看到这里有个空间直角坐标系。

那么和平面坐标的区别，

就是空间坐标系有3位。

向量运算公式基本一样。

接下来说一下区别，

首先这个玩意和平面直角坐标系不一样，

一个空间被3根轴分成了8个空间，

这8个空间就是8个卦限。

其中z大于0时，

这个区域和四个象限划分差不多，

z小于0时，

长这样。

这时候也说一下向量的叉乘，

以两个在xy平面上的向量为例，

求这两个向量的叉乘

方向就是这两个向量构成的平面

平面所对应的垂线，

其中如果是a×b可以用右手螺旋定则得到

它的具体方向。

（虽然电磁学，气象学

等多个领域都是右手螺旋定则，

但是都不要搞混了）

大小就是a的长度*b的长度*sin夹角。

如果要它的坐标计算公式，

设a为(x₁,y₁,z₁)，b为(x₂,y₂,z₂)，

那么结果a×b=

(y₁z₂-y₂z₁,z₁x₂-z₂x₁,x₁y₂-x₂y₁)

那么，

既然向量能数乘（缩放），

也能加减法（坐标移动），

应该也能旋转？

这个，有点难度，

下次说。

所以，

你现在发现了，

你的房子上面有窗户，

可以通过移动旋转缩放的方式调节样式，

然而这个调节样式底层过程

就是向量的运算。

同时，

既然，

刚刚说过，

从数轴，发展到平面，再发展到空间，

对应的就是一维空间，

二维空间，三维空间，

那么一维空间的别称就是一次元，

后面的，我不想说了。

了解一下，

元和次分别是什么？

以2x+3y为例子，

看到有2个参数，

每个参数就是元，

所以这个玩意就是二元。

如果是x²，

看到x²=x·x，

或者xy=x·y，

两个参数乘起来，

相当于乘了2次，

这个就是二次。

那么，

三维向量在坐标图上有3个分量，

也可以叫做三元向量。

但是算一个区域的体积，

需要xyz乘起来，

变成3次。

那么应该三维空间后面还有四维空间？

理论上有，

分为两种，

一种说第四根轴是时间，

可以用于计算相对论。

另一种说第四根轴是w坐标，

数学上能算，

物理上想不出来。

上面的这个三维坐标就是基于

笛卡尔坐标系做出来的。

这个就是物体的位置，

每个物体都有它所在的位置。

其中这个空间就是

基于这些坐标变换，

物体在单位时间移动了一个距离，

那么物体的速度就是距离/时间。

同时速度也会变化，

单位时间内速度变化量就是加速度。

同理加速度的变化量就是加加速度。

接下来就是物体的运动物理了。

接下来看一下今天的内容关系图：