AI证明准黎曼猜想，接下来会发生什么？

（图源：量子号）

黎曼猜想被认为是数学界最重要的未解难题之一，它关系到素数在整数中如何分布。

160多年来，数学家不断逼近这个问题，却始终无法证明猜想成立。

2026年10月6日，OpenAI公布的一批数学研究成果中，一项关于准黎曼猜想的证明引起了数论学家的高度关注。

斯坦福大学数学家杰瑞德·杜克尔·利希特曼（Jared Duker Lichtman）称，这是迄今为止最重要的人工智能数学成果，而且领先幅度相当大。

更出人意料的是，这项证明并没有引入全新的数学概念，而是找到了旧理论之间一条此前被忽视的联系。

在《量子杂志》（Quanta Magazine）10月19日的一篇文章中，科学撰稿人康斯坦丁·卡卡斯（Konstantin Kakaes）追踪了该领域的最新进展。

《量子杂志》（Quanta Magazine）文章截图

划重点：

• 距离完整的黎曼猜想仍有差距，但数学后果可能十分广泛。 准黎曼猜想的证明将为数论、几何学和理论计算机科学中的大量结果提供新的依据。

• 突破来自旧工具的新组合。 AI找到了一个此前被忽略的函数族，并将多种已有数论方法连接起来。

• 这次成果已开始接受数学家的实质性检验。 专家正在重写和梳理证明，普遍认为较短版本的结论正确，但完整的黎曼猜想依然遥远。

本文4900多字，目录如下：

1. 从素数分布，理解黎曼猜想为何重要

1.1. 一个函数，连接着素数的分布规律

1.2. 为什么零点的位置会影响素数？

2. 未证明完整猜想，却可能改变数论研究

2.1. 把零点限制在更窄的区域

2.2. 数学家开始拆解AI的证明

3. 被忽略的函数族，连接起已有数学工具

3.1. 数十年前的研究方向，终于找到落点

3.2. AI重组数学家以为不够强的工具

4. 离证明完整黎曼猜想还有多远？

4.1. 数学界：兴奋，但仍需人类理解

4.2. 对于完整黎曼猜，这已是实质进展

1.

从素数分布，理解黎曼猜想为何重要

1.1. 一个函数，连接着素数的分布规律

素数是只能被1和自身整除的正整数，例如2、3、5、7和11。它们是整数算术的基本构件，但在数轴上并不是均匀分布的：随着数字不断增大，素数出现得越来越稀疏。

数学家早已知道这种总体趋势。更难的问题是，素数究竟以怎样的速度变得稀疏，又会在平均规律周围产生多大的偏差？

1859年，德国数学家波恩哈德·黎曼提出了一个后来以他命名的猜想。它研究的对象看似是一种抽象的数学函数，却与素数分布有着深刻联系。

这个函数叫作黎曼ζ函数，通常写作(\zeta(s))。它可以从一个熟悉的无穷级数出发：

[ \zeta(s)=1+\frac{1}{2s}+\frac{1}{3s}+\frac{1}{4^s}+\cdots ]

这里的变量(s)是复数，由实部和虚部组成。通过数学上的解析延拓，这个函数可以扩展到原始级数不再直接收敛的区域。

(图源：Mark Belan/Quanta Magazine）

黎曼猜想关注的是：在什么位置，ζ函数的值会等于零？

函数在负偶数处的零点，例如−2、−4和−6，被称为平凡零点。除此之外的零点叫作非平凡零点。黎曼猜想断言，所有非平凡零点的实部都等于(\frac12)。

换句话说，如果把复数看作平面上的点，所有非平凡零点都应该落在实部为(\frac12)的一条竖直线上。

(图源：Mark Belan/Quanta Magazine）

这条看似狭窄的数学约束，能够告诉数学家有关素数分布的大量信息。

1.2. 为什么零点的位置会影响素数？

ζ函数与素数之间的联系并非黎曼首次发现。

1737年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）证明，在适当的定义范围内，ζ函数可以写成一个由所有素数构成的无穷乘积：

[ \zeta(s)=\prod_{p\ \mathrm{prime}}\frac{1}{1-p^{-s}} ]

其中，(p)遍历所有素数。这个公式将一个函数与全部素数直接联系起来，成为解析数论的重要基础。

1896年，数学家雅克·阿达马（Jacques Hadamard）和夏尔·让·德·拉·瓦莱·普桑（Charles-Jean de la Vallée Poussin）分别证明，ζ函数的非平凡零点不可能位于实部为0或1的两条边界线上。结合此前的研究，他们由此证明了素数定理。

素数定理给出了素数数量随数值增长的大致规律。它告诉我们，在足够大的范围内，小于某个数(x)的素数数量大约为：

[ \pi(x)\sim\frac{x}{\ln x} ]

这里的(\pi(x))表示不超过(x)的素数数量，(\ln x)是自然对数。

但知道平均规律还不够。数学家还想知道，实际的素数分布会偏离这个平均规律多少。

如果黎曼猜想成立，数学家就能对这种偏差给出更强的控制。反过来，如果哪怕只有一个非平凡零点偏离实部为(\frac12)的直线，也可能意味着素数分布存在此前未曾预料到的复杂结构。

目前，数学家已经通过数值计算验证了前12万亿个非平凡零点都位于这条直线上。但无论计算规模多大，都不能替代对全部零点的证明。

这也是黎曼猜想至今仍然悬而未决的原因之一。它不仅是一道关于函数的题目，更是一扇通往素数深层规律的窗口。

2.

未证明完整猜想，却可能改变数论研究

2.1. 把零点限制在更窄的区域

准黎曼猜想（quasi-Riemann hypothesis）是黎曼猜想的一个弱化版本。

完整的黎曼猜想要求所有非平凡零点的实部恰好等于(\frac12)。准黎曼猜想则放宽了要求：只要能够证明所有非平凡零点都位于一个比实部介于0和1之间更窄的竖直区域内，就能取得进展。

区域越窄，对素数分布的约束就越强。因此，即使没有把零点全部锁定在(\frac12)这条线上，缩小零点可能出现的范围也具有重要的数学价值。

OpenAI在2026年10月6日公布的数学成果中，给出了准黎曼猜想的两个证明版本。

第一个版本完成于9月30日，声称所有非平凡零点的实部都介于(\frac18)和(\frac78)之间。这个版本长达199页，并使用Lean编程语言进行了形式化验证。

第二个版本在近一周后完成，篇幅只有49页。它证明的结论相对较弱：所有非平凡零点的实部都介于(\frac1{12})和(\frac{11}{12})之间。不过，截至原报道发表时，这个版本尚未完成形式化验证。

两个版本的界限不同，但研究人员认为，它们采用了相似的技术路线，也具有相近的数学意义。

为什么数学家反而更关注结论较弱的第二个版本？

纽约大学数学家马克西姆·拉济维洛夫（Maksym Radziwiłł）解释，主要原因是它更短，更便于理解和检验。

这也引出了这项AI成果面临的一个关键问题：计算机给出的证明，究竟能否被人类数学家真正理解？

2.2. 数学家开始拆解AI的证明

在最近一轮AI数学成果中，机器生成的证明常常面临一个共同问题：即使结论可能正确，证明文本也难以阅读，缺乏数学论文应有的清晰度和表达规范。

拉济维洛夫在接受《量子杂志》采访时，对OpenAI的两篇论文提出了尖锐批评。他认为，两篇论文的写作质量都很差，按照数学期刊的标准，很可能会立即被拒稿。

但证明的表达问题并不意味着结论必然错误。数学家需要做的是独立检查推导过程，确认每一步是否成立，并弄清楚整个证明为何有效。

为此，普林斯顿大学著名数论学家彼得·萨纳克（Peter Sarnak）决定调整自己本学期所讲授的一门课程，将研究重点转向这项证明。

拉济维洛夫表示，他现在已经能够用半页纸勾勒出证明的主要论证。其他数学家整理出的较详细版本则有7至13页。截至原报道发表时，这些整理稿尚未正式发表，但已在研究人员之间私下流传。

这种压缩并不只是为了缩短篇幅。它意味着数学家正在尝试从AI生成的大量文字中，提炼出真正起作用的数学结构。

参与研究的专家大体认同，较短版本的结论是正确的。接下来需要理解的，是为什么这套论证能够成立，以及它究竟揭示了哪些此前未被充分认识的联系。

3.

被忽略的函数族，连接起已有数学工具

3.1. 数十年前的研究方向，终于找到落点

这项证明最值得关注的地方，可能并不在于它用了某种全新的数学工具，而在于它找到了正确的研究对象。

数十年来，萨纳克一直主张，研究黎曼猜想时，不应只盯着ζ函数本身，还应该把它看作一个更广泛的函数族中的成员，再尝试证明适用于整个函数族的结论。

但具体应该选择哪个函数族，始终不够明确。

滑铁卢大学数学家迈克尔·鲁宾斯坦（Michael Rubinstein）在接受《量子杂志》采访时指出，萨纳克的思路很有洞察力，但此前一直没有人清楚地知道应该怎样落实，也不确定哪一个函数族最值得研究。

OpenAI的模型找到了一个此前被忽视的函数族。

这项选择并非完全没有先例。罗格斯大学数学家亨里克·伊瓦涅茨（Henryk Iwaniec）曾在2002年试图证明黎曼猜想时，识别出若干彼此密切相关的函数族，但最终与这次研究所需的对象失之交臂。

而OpenAI模型找到的函数族涉及一种较为冷门的数学对象——亚辛形式（metaplectic forms）。

佐治亚理工学院数学家亚历山大·邓恩（Alexander Dunn）过去五年一直在研究这类对象。他对《量子杂志》表示，没人预料到它们会在这一问题上发挥如此关键的作用。他也希望，这套精深而相对冷门的理论能够因此获得更多关注。

这意味着，AI的贡献并不是凭空创造一套新的数学语言，而是在庞大的既有知识体系中，识别出一个此前没有被充分利用的切入点。

马克西姆·拉济维洛夫（Maksym Radziwiłł，上）和亚历山大·邓恩（Alexander Dunn）惊讶地发现，OpenAI 最近对准黎曼猜想的证明使用了他们多年前开发的技术。（图源：Caltech）

3.2. AI重组数学家以为不够强的工具

更出人意料的是，这项证明还用到了邓恩和拉济维洛夫在2021年证明的一个公式，以及其他数论学家的大量既有成果。

在此之前，相关领域的数学家普遍认为，手头的方法不足以证明准黎曼猜想。他们倾向于相信，解决这个问题需要借助数论中另一个分支的技术。

但OpenAI模型找到的证明表明，现有工具可能已经足够，只是它们之间的联系尚未被发现。

拉济维洛夫承认，回过头看，他们对自己所用方法的能力判断有误。他形容，模型表现出的那种相信现有工具可能足以解决问题的倾向，是一个相当大胆的判断。

邓也将这项证明描述为对一系列著名数学思想的意外综合。

这里的关键，是数学研究中的一个常见难点：研究人员不仅要掌握大量定理，还要判断哪些定理能够放在一起，哪些看似不相关的对象实际上共享着某种结构。

一个工具是否足够强，有时并不能仅从它单独能做什么来判断。只有找到正确的研究对象，并把不同的工具连接起来，它的能力才可能显现出来。

AI在这项工作中展示的，正是这种组合已有知识、寻找隐藏联系的能力。

4.

离证明完整黎曼猜想还有多远？

4.1. 数学界：兴奋，但仍需人类理解

对于OpenAI的成果，数学家既感到兴奋，也有明显的保留。

普林斯顿大学的萨纳克表示，在人类检查并理解所有细节之前，他还不会满足于把它视为一条已经确立的定理。

拉济维洛夫则认为，整体反应更多是如释重负。原因在于，这项证明一旦得到充分确认，就能迅速确立数论、几何学和理论计算机科学中大量相关结果的数学地位。

这也是准黎曼猜想的价值所在：即使它没有解决完整的黎曼猜想，也可能为许多其他问题提供此前缺少的理论依据。

不过，证明的正确性、证明的形式化验证，以及数学界对证明的完整理解，是彼此相关却并不完全相同的事情。较短版本已经得到研究人员的积极评价，但截至《量子杂志》报道发表时，它尚未完成形式化验证，相关数学家也仍在梳理细节。

此外，OpenAI公布的论文数量在原报道中存在一处值得注意的差异：文章开头称公司在10月6日宣布了377项结果，后文则称当天发布了722篇论文。无论采用哪个数字，报道都指出，较短的准黎曼猜想证明是其中唯一经过人工编辑的论文。

OpenAI没有回应《量子杂志》关于编辑者身份以及为何只有这篇论文经过人工编辑的具体询问，只表示论文是公司全体人员共同工作的成果。

这项细节也凸显了AI生成数学成果的现实挑战：机器能够给出复杂的推导，但成果能否被同行理解、检查和纳入数学知识体系，仍然需要人类专家投入工作。

4.2. 对于完整黎曼猜，这已是实质进展

那么，这项成果能否成为证明完整黎曼猜想的跳板？

对此，数论学家并不乐观。

普林斯顿大学数学家威尔·索温（Will Sawin）认为，数学家即使充分吸收了新方法并研究清楚其后果，也很可能仍然觉得，完整的黎曼猜想与自己之间的距离和过去差不多。

但他也承认，自己并不确定事情一定会如此发展。

曼彻斯特大学数学家托马斯·布卢姆（Thomas Bloom）同样认为，完整的黎曼猜想依然难以企及。不过，他提醒说，就在几周前，数学家们对准黎曼猜想也抱有类似的判断。

这正是这项成果引发关注的原因之一。

它没有解决数学界最著名的未解难题，却证明了一个此前被认为难以攻克的弱化版本；它没有提出一套全新的理论，却找到了冷门数学对象与已有定理之间的关键联系。

接下来，数学家需要弄清楚这套方法还能走多远。它能否进一步收紧非平凡零点的范围，甚至最终触及实部为(\frac12)的那条直线，目前都没有答案。

但至少有一点已经改变：数学家此前认为不足以证明准黎曼猜想的工具，现在被证明能够做到这件事。对于一个困扰数学界160多年的问题而言，这已经是一项实质性的进展。

参考资料

Konstantin Kakaes. AI Proved the Quasi-Riemann Hypothesis. What Happens Now? Quanta Magazine, October 19, 2026. https://www.quantamagazine.org/ai-proved-the-quasi-riemann-hypothesis-what-happens-now-20261019

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