《纽约客》长篇特稿丨陶哲轩在数学被永远改变的这一年

本站昨天发布的由奥斯卡影帝 达斯汀·霍夫曼撰写的回忆录《从电影《毕业生》中幸存》，因“ 色情 ”被微信平台删除。

The Year Math Changed Forever

人工智能正在破解那些困扰该领域数十年的难题。数学家们则向陶哲轩寻求指引，以应对他们所处的全新世界。

本文即将刊登于2026 年 11 月 9 日的《纽约客》杂志，印刷版标题为Proof of Concept。作者：《纽约客》的专职作家Rivka Galchen自 2008 年以来一直为该杂志撰写小说和非虚构作品。她的著作包括小说《人人都知道你妈妈是女巫》。

“我这辈子从未有过如此奇怪的一周，”在OpenAI宣布又一个难题的解决方案后，陶说道。摄影：布莱恩·范劳，《纽约客》

“数学家是一台把咖啡转化为定理的机器。”这句名言常被匈牙利数学家保罗·埃尔德什引用。他靠咖啡与安非他命提神，睡眠极少，几乎四处奔波，终身未娶也无子嗣，一生发表了近一千五百篇论文，且与数百位同行合作。然而，从许多方面看，埃尔德什并不像一台机器：他把讲授数学称作“布道”，总在不合时宜的时刻打电话给朋友，问一句：“你的大脑开着吗？”由于皮肤敏感，他只穿丝绸内衣；他还自称直到二十一岁才学会如何抹黄油吐司。他将大部分收入捐给慈善事业，以及那些亟需资助求学的年轻数学家，并为他自己提出的数学难题悬赏——有时十美元，有时甚至高达一千美元。数学就是他的生命，而数学家则是他的家人。人们常说，即便撇开他对数学文献作出的卓越贡献，他最深远的影响还在于：他把那些原本可能成为对冲基金经理、联邦调查局特工，或迷失于尘世的人，变成了数学家。1996年，这位八十三岁的老人辞世时，留下了大约一千个未解的数学问题。能解决一个埃尔德什提出的问题，是一种莫大的荣誉；而拥有较低的“埃尔德什数”——这一指标用来衡量一个人与埃尔德什之间通过共同发表论文所隔多少层关系——同样令人自豪。

1985年，埃尔德什造访澳大利亚阿德莱德——陶哲轩的家乡时，他年仅十岁。埃尔德什喜爱孩子，常称他们为“ε”。作为数学神童的陶，在九岁时便已开始修读大学课程。埃尔德什向他提出了一道题目，希望两人共同探讨。一张由陶的母亲拍摄的会面照片——她曾在育有子女之前担任数学教师——定格了这位年轻数学家与那位年长者凝神沉思的瞬间：两人双手托腮，注视着面前的笔记本。“真希望我能记得那次会面的更多细节，”陶近日说道。后来，埃尔德什还以贝尔实验室的信笺亲笔致函陶家，在简短的新年祝福之后，再次重申了他们曾讨论过的那个问题：“设1 ≤ a₁ < a₂ < … < aₙ ≤ n为一整数序列……”

2023年5月，数学家托马斯·布鲁姆开始在网站erdosproblems.com上汇集目前已知的、尚未解决的埃尔德什问题。这些问题的深度与难度各不相同，且皆为有意为之。埃尔德什曾将其中一些比作“棉花糖”，另一些则喻为“橡果”。在今年2月的一场题为“机器辅助与研究型数学的未来”的演讲中，陶哲轩引用了埃尔德什的比喻：他把棉花糖形容为“一道美味的小点心，能带来片刻的短暂愉悦”，而把橡果比作“需要深刻而精妙的新见解，方能孕育出参天的大树”。

过去五年里，人工智能在研究型数学领域将发挥何种作用，已引发广泛讨论；而在最近五个月里，这一话题更是被渲染得令人望而生畏、无边无际。陶哲轩——加州大学洛杉矶分校的数学教授，也是2025年创立的“科学与人工智能研究基金会”的创始人——一直是这场讨论中最引人注目的声音之一。这在一定程度上源于他是一位备受尊崇的数学家，31岁时便荣获了该领域最高荣誉——菲尔兹奖；另一方面，他像埃尔德什一样，格外注重协作与社群建设；此外，早在许多同行仍持“哦，那不过是玩具，错漏百出，根本派不上用场”的看法时，他就已开始认真且公开地思考人工智能问题。当时，诸如谷歌DeepMind、OpenAI和Anthropic等人工智能实验室正试图证明事实并非如此。从它们的视角看，数学问题正是衡量其产品能力的实用基准：数学证明可以被数字化并得到客观验证，而数学本身又享有极高的学术声誉。早期的人工智能工具在基础数学方面表现尤为糟糕。例如，当OpenAI的GPT‑4 Turbo被要求统计“lollapalooza”中字母“L”的数量时，它竟答道“五个”。此后，这些工具虽已取得显著进步，但时至今日，大型语言模型依然难以应对一些我们看来轻而易举的任务，反之亦然。“人工智能解决问题的方式，与人类的解题思路可谓截然不同，”陶哲轩在近期的一次讲座中指出。人工智能给出的证明往往会在看似对本科生而言显而易见之处大篇幅铺陈，而在那些对人类数学家来说堪称庞大而晦涩的步骤上却仅寥寥数行。

2024年，人工智能工具在国际数学奥林匹克竞赛中表现不俗，一度达到银牌水准；到了2025年，更是登上了金牌水平。参加国际数学奥林匹克竞赛的，往往只有顶尖高中生和极少数天才少年。（陶哲轩十岁时获铜牌，十一岁获银牌，次年又摘得金牌。他的老友兼数学合作者艾伦·克努森曾回忆，一位曾入选墨西哥国家队的前女友曾向他提起过一个爱带毛绒玩具、总在考完后脱口而出“太简单了”的小家伙——那正是陶哲轩。）随后，在2026年初，借助人工智能工具，数学家与数学爱好者开始攻克一些较为“软绵绵”的埃尔德什问题。1月，GPT‑5.2 Pro似乎已基本独立解决了埃尔德什第728号问题；陶哲轩等人随即承担起验证这一证明的重任。此后，更多埃尔德什问题相继迎刃而解。陶哲轩解释称，其中一些问题之所以长期悬而未决，是因为存在“注意力瓶颈”——即此前鲜有人深入思考；另一些则是早已被解决却未广为人知的旧题，而人工智能则将其重新发掘出来。然而，5月20日，OpenAI公布了一项关于埃尔德什第90号问题——单位距离问题——的证明。该问题属于组合数学范畴，要求在平面上安排点，使尽可能多的点对之间保持等距。这绝非易事，即便是顶尖数学家也曾为此耗费心力，逐步推动其进展。

随后，又出现了纳维—斯托克斯方程的存在性与光滑性问题。这一问题涉及这样一种情形：描述流体运动的一组方程似乎暗示了具有无限速度的解，而这显然是不可能的。2000年，位于马萨诸塞州剑桥市的克雷数学研究所公布了七道千禧年大奖难题，均由该所的科学顾问委员会遴选并拟定，每道题的解答均可获得一百万美元的奖金。这些千禧年大奖难题堪称“坚果级”的难题，而纳维—斯托克斯方程正是其中之一。9月8日，OpenAI宣布已成功破解这一难题。本就心绪不宁的数学界，由此更是陷入了一场存在主义式的危机之中。

“我这辈子从未有过如此离奇的一周，”陶在三天后于加州理工学院的一场演讲开场时坦言道。平日里授课时，他总是穿着有领衬衫、衣角掖进裤腰；而这次，他却穿了牛仔裤和一件黑色T恤，上面印着江户时代的木版画《神奈川冲浪里》——这幅名作以分形般的纹样著称：巨浪由更小、形状相似的波浪构成，而这些小波又进一步衍生出更微小的波纹。“按惯例，我会用人工智能，把它改造成某种花哨的版本，”陶一边说着，一边指向身后屏幕上那张极简的图案，“可这次我用了PowerPoint，”他自嘲道，引来一片笑声。随后，他概述了当前这一领域的状况：一篇篇解决方案被陆续发表，却往往缺乏必要的解释与细节，全靠数学家们的善意与无偿付出来加以验证、阐发。由人工智能生成的论文正以压倒性的数量涌入各大数学期刊与数据库，而这个原本优雅、由志愿者无偿审稿所维系的学术生态，也正在垃圾论文的重压下濒临崩溃。有时，甚至连投稿者自己都未必真正理解自己的成果。答案确实在不断涌现，但在数学界，答案本身往往并不那么重要；真正关键的，是那些为寻求答案而展开的思考与创造过程。“我们必须放慢脚步，”陶说道，“现在的节奏简直太疯狂了。”在演讲的问答环节，一位听众指出，迄今为止，人工智能解决的都是已有问题。那么，陶认为新的问题将从何而来？他回答说，新问题源自那种“缓慢而审慎”的求解过程，“而这种过程，恰恰正在被摧毁。”

在数学的另一个时代——也就是四月——我到加州大学洛杉矶分校的数理科学大楼去拜访了陶哲轩。那栋楼通过一连串迷宫般的走廊与楼梯，与博特勒大厅相连；1969年，互联网的前身ARPANET正是在那里发出了第一条信息。其中一条走廊里还设有一个电话亭。陶哲轩的办公室宽敞而素朴，铺着米色地毯，摆着一张米色沙发，两面长墙上安装着六块黑板，书架上则整齐地码放着数百册书籍，书名包括《分析学进展：以 Elias M. Stein 之名传承》《数论第一卷：工具与丢番图方程》以及《椭圆曲线的算术》等。靠近灯开关的地方，有一幅画——画中是个咧着大嘴、身着黑色西装打领带的怪兽——旁边还有一张纸上写着一段密码（“LWKIRLCS”，仅是其中的一部分）。那是他的长子多年前为他画的。“我想我已经不记得怎么解密了，”陶哲轩说。他获得的众多奖项与荣誉并未陈列出来，但墙上却挂着一幅由北达科他州立大学数学谱系项目制作的挂毯，上面记录着一代又一代师承关系。

陶身材修长，一头深色短发略显少年气，举止温文尔雅、沉稳从容。他今年五十一岁，却看上去年轻了整整十岁。他每天骑自行车上班，办公室角落里还放着好几副网球拍，不过他说，由于工作日益繁重，这几年几乎没时间打网球了。“要是想写个数学家的专访，我可能不是个好例子，”他对我说，“我每周二和周四还能做点数学，有时候在飞机上也顺便算算。” 他与妻子劳拉、两个孩子、四只猫、一只狗以及三只兔子生活在一起。原本这家人打算把最年长的那只兔子“斯庞普金”送给朋友，因为陶说，这只兔子“被家门口的车流吓坏了”。可后来这事儿没成，斯庞普金就一直留在家里——倒也挺好；它和家里最年长的那只猫可是形影不离的好伙伴。

许多数学天才不仅因其卓越的学术成就而闻名，也因各自的怪癖而广受瞩目。埃尔德什只是其中一例。18世纪的意大利数学家玛丽亚·阿涅西撰写了早期的微积分教材，却将大部分财产捐出，并放弃数学研究，全身心投入神学事业。逻辑学家库尔特·哥德尔则以其不完备性定理揭示了任何数学体系都无法穷尽所有数学真理；他后来甚至相信，医生们藏有一本秘密手册，坦诚记录各种药物；还认为美国国税局在追捕自己；更荒诞的是，他还坚信那位数十年前已故的朋友至今仍活在苏联。约翰·纳什（以对博弈论的贡献著称）、格里戈里·佩雷尔曼（因证明庞加莱猜想而名扬天下）以及亚历山大·格罗滕迪克（因创立代数几何的新基础而彪炳史册）都曾戏剧性地淡出社交圈。而陶哲轩却并不属于这一传统。他显然深谙世事，这多少令人意外——毕竟据说在他两岁时，就已被发现正用父亲的打字机敲打出一篇他最爱的儿童故事。

小时候，陶曾以为，专业数学家所做的不过是解答那些被分配给他们的题目，就像做家庭作业一样。到了十六岁，他已是普林斯顿大学数学系的一名研究生，却依然对自己的数学想象力究竟该派上何种用场懵懂不清。他热衷于玩电子游戏，轻松应付完所有课程，却差点在博士资格考试中挂科。并非所有神童都能成就辉煌的事业。然而，陶却一路成长为当今最受尊崇的数学家之一，因其在从数论到波分析等众多领域的深远贡献而广受赞誉——堪称一位数学界的通才。

2024年，唐纳德·特朗普成功连任，这让陶更加忙碌。他担任特别项目主任的加州大学洛杉矶分校纯粹与应用数学研究所（IPAM）的联邦经费被冻结，而那些曾资助他所在院系——包括他本人——科研工作的美国国家科学基金会拨款也同样遭到了冻结。与此同时，随着特朗普政府接连出台多项反移民政策，学生和博士后也面临签证方面的种种困扰。为此，陶花费了数月时间在私人捐助者中筹措资金，以保障其研究生所依赖的助学金与助教岗位。其中一些捐助者是曾经向他开出巨额酬劳、希望他为其效力的对冲基金和银行。他此前一直婉拒，“但那些人脉在当时确实派上了用场，”他说。

曾向IPAM提供资助的公司之一是OpenAI。今年早些时候，陶在一场被该公司称为“炉边谈话”的活动中，与OpenAI高管马克·陈共同接受了采访。在访谈中，陶既表达了对人工智能在数学领域应用的期待，也流露出一些担忧；随后，OpenAI在其一则宣传视频中引用了他的一些乐观言论，视频中陶表示，人工智能“已准备好走向主流”，并将把认知摩擦“降至零”。此外，陶还与谷歌DeepMind的研究人员开展过合作，其一项研究项目更是得到了人工智能初创企业Math, Inc.的赞助。正因如此，他在一段时间内被描绘成对人工智能在数学中的作用几乎不加批判地持高度热情的态度；在《量子杂志》6月的一篇文章中，他甚至被称作一名“布道者”。

诚然，近年来陶一直指出，长期以来以黑板为主导的数学领域或许早已到了亟需变革的时候。他寄望人工智能能够助力打造一张“会不断更新的电子表格”，在新的数学发现涌现时自动实现自我迭代；同时，他还致力于开发开源的人工智能工具，并积极组织各类活动，推动形成一种协作式的AI研究范式。2024年，他发起了“等式理论项目”，汇聚了数十位专业与业余数学家，在人工智能的辅助下，尝试判定约四千五百条自创数学公理所蕴含的二千两百万个数学推论的真伪。他还多次谈及，人工智能有望促成更为大规模的协同合作。他希望数学能够更多地沿袭生物学家开展种群研究的传统——譬如探究“是什么导致狐猴种群此起彼伏？”——而非局限于个案分析——即“我们能从这只特定的狐猴身上得出什么结论，进而借此窥见狐猴这一类群的整体特征？”

然而，近来陶的那份谨慎乐观已让位于忧虑。他开始称赞“认知摩擦”，并指出人工智能企业“通过将整个过程中的所有人性因素剔除，实现了所谓的‘优化’”。他在办公室里对我说：“我们必须积极尝试，摸索出哪些方法真正适合我们。否则，等到科技公司推出那些产品——比如‘这是我的人工科学家’——市场上就再也不会有其他竞争性产品了。” 他并不主张数学家回避使用人工智能。但在加州理工学院的一次讲座上，他强调，人工智能对数学的影响遵循着他所称的“非线性动力学”规律。他进一步说道：“任何单调、单维度的思维模式——‘这点儿挺好，那多一点儿肯定更好’——都与数学所揭示的规律相悖：大多数系统并非如此运作。” 人类的理解力必须始终处于核心地位。例如，对于由人类撰写的证明，他指出：“你可以与当事人交流，问一问‘你的经历是什么？你的灵感来自哪里？’从而深入了解整个过程。他们还能做学术报告，多年之后依然活跃于学术界，将自己的经验传授给学生，为整个数学生态系统作出贡献。”

在自己的办公室里，陶将数学界所面临的危机比作城市从马车时代向汽车时代转型的过程。“你需要城市中既保留供行人通行的区域，也规划适合驾车出行的路段。但你不能把整座城市都设计成完全以汽车为优先的格局，”他说，“因为没有人愿意住在那样的城市里。”这正是他在演讲与访谈中屡次使用的类比。在一次较近期的演讲中，他回忆起自己曾借助一张幻灯片来阐释这一比喻：幻灯片上清晰地划分出专属于行人的车道与专供机动车行驶的车道。“这就是我们希望达到的目标，”他说道，“但遗憾的是，眼下我们其实还停留在——”随后，他切换到另一张幻灯片，画面中人们惊恐地四散奔逃，而那群人身后似乎正逼近着某种看似自主的机器。

我们小时候学的许多数学知识都显得机械呆板，这或许正是人们有时误以为数学是一门缺乏想象力的学科的原因。若能回想一下，查尔斯·道奇森——也就是更为人熟知的刘易斯·卡罗尔——其实是一位职业数学家，便能获得更为准确的认识。从某种意义上说，《爱丽丝梦游仙境》的创作过程颇似数学研究：在这一类比中，机械化的演算就好比写作的基本功——拼写、主谓一致等；而为了探究逻辑、奇思妙想、惊奇与悖论，卡罗尔又创造出白兔、柴郡猫、红心皇后等角色，以及疯茶会、赛跑游戏等情境。这些人物与场景，恰如数学家在探索数学思想时所发明的各类对象与方法。当安德鲁·怀尔斯在费马大定理首次提出三百五十多年后终于给出证明时，数学界为之振奋，但这份激动并非源于那个并不令人意外的答案——即：当n>2时，不存在任何正整数a、b、c使得an+bn=cn。真正令人称道的，是怀尔斯在证明过程中所开创的一系列数学工具与方法；而这，才正是高等数学的精髓所在。

但构思人物与情节却充满挑战——这或许正是它令人满足之处。我曾旁听陶哲轩与他的博士后学生伊克拉·阿尔塔夫的一次讨论，她当时正在研究几何测度论中的一个难题。“从数学角度看，情况并不乐观，”阿尔塔夫说道。她走到黑板前，开始写下她原本以为可以成立的某个猜想的反例。“数学就像电子游戏，又像《土拨鼠之日》，”陶哲轩说，“每次失败后，你都会重新开始。”在一次次试错中，你会学到一些新东西，为下一次突破打下基础。他引用了俄罗斯数学家弗拉基米尔·阿诺尔德的一句话：“数学是物理学中实验成本最低的部分。”在另一次交谈中，陶哲轩把学习数学比作观看他和妻子都很喜欢的美剧《艾蜜莉在巴黎》：“那纯粹是荒诞的轻松娱乐，但也挺有趣的。你看多了，就能摸清套路，大致猜到剧情走向，”他说，“可要是只给你一个简短的情节梗概，比如‘故事设定是这样，接下来会发生这些事’——那就没意思了。而且，如果你想学着自己写一部剧，那更是毫无助益。”通过对比那些拍得糟糕与拍得出色的情节片段，观察即便是公式化的剧集如何收尾——这才是学会执导自己作品的诀窍。在人工智能的到来给数学领域带来的诸多危机中，“最紧迫的问题是：我们该如何培养研究生？”陶哲轩说道。这个问题他已经追问了好几年。过去研究生们往往要花上数月时间去钻研的那些规模不大的问题——在此过程中还能逐步掌握数学思维——如今有时只需借助人工智能工具，几小时内便能迎刃而解。

10月9日，陶在由美国数学研究所主办的一场讲座上发表了演讲——这已经是他的又一场讲座了。三天前，OpenAI刚刚公布了三百七十二项新成果，这些成果或为数学中的开放性问题提供了新的见解，或直接解决了某些难题。（OpenAI在宣布这些成果的声明中仅简要提及，已有四千个问题得到了尝试，但这一细节并未引起太多关注。）陶首先解释说，一年前他受邀作这场报告时，报告的标题还叫“机器辅助证明”——事实上，这也是当时用于宣传该活动的海报上的标题——然而，“到了如今，‘机器能够辅助证明’这一观点或许已不再那么新颖了。”于是，他便将标题改为了“数学2.0”。

陶在十岁时，保罗·埃尔德什曾到访陶的家乡，两人在那里共同研究了一个问题。照片由陶提供。

陶说，数学1.0——“到2025年的数学”——是以“证明稀缺”这一基本假设为前提的。在那时，证明就像一种货币，是发表论文、赢得奖项以及获得职位的核心要素。而如今，局面已转变为证明的极大丰富，陶将其比作食物的充裕：当食物多到足以填满你的胃时，“你就会对塞进嘴里的东西变得挑剔一些”。不久之后，我们将生活在一个充斥着大量低质量人工智能证明的汪洋之中，而数学家们则不得不从中筛选出真正有价值的内容。数学2.0将随之而来，其关键在于弄清楚“如何真正实现人工智能与人类的融合”，从而“开拓全新的任务疆域”，而其中只有一部分会是传统意义上的数学问题。

在问答环节中，一位加州理工学院的一年级研究生向陶哲轩请教，他会对他们这一代人提出怎样的建议。他略一迟疑，眨了几下眼睛，又闭上了双眼。“去参与吧，”他说，“嗯……你知道的，参与政策制定，更广泛地说。”他停顿了一下，随后语速流畅起来：“别再假装人工智能不存在了。要真正弄清楚它能做什么、不能做什么。”

澳大利亚悉尼大学的数学家乔迪·威廉姆森曾这样评价一项由人工智能辅助得出的解法：“它就像一件献给整个数学界的瑰宝”；而另一项则被他比作“犹如除草剂‘农达’被喷洒在花园里”。这两项成果均由Anthropic公司的数学家莱文特·阿尔珀格发表。那件“瑰宝”涉及一个已有八十七年历史的难题——雅可比猜想。我们可以把这个问题理解为：是否存在一种从一个几何形状到另一个几何形状的一一对应映射？7月19日，也就是西班牙与阿根廷足球赛当天，阿尔珀格在X平台上发文称：“嘿，雅可比猜想是错的，多亏了我的密友阿基尔——一位人类——向我提起此事，还有我的另一位密友Fable——一款人工智能模型——在世界杯决赛期间帮了大忙。”Claude Fable 5生成了一个反例，这就好比鸵鸟之于“所有鸟类都会飞”这一命题一样，成为了一个有力的反例。威廉姆森表示：“短短三十六小时内，数学家们便大致弄清了这个反例的来源及其为何如此自然。”包括陶哲轩在内的少数几位数学家对这一证明展开了深入研究，逐步理解了其中的精髓——这一过程常被数学家们戏称为“消化证明”——并重新构建了其背后的代数几何框架。7月21日，陶哲轩将自己的研究成果发布在个人博客上，其中还附上了他在细究细节时与ChatGPT交流的对话记录。到了7月22日，巴纳德学院的谢蒙·雷兹奇科夫已仅凭高中水平的数学知识，为这一反例制作出了一幅直观的可视化图示。这项证明非但没有扼杀人们的思考，反而开启了新的思路。

但随后又出现了威廉森的“汇总”故事：8月12日，Alpöge再次发帖，不过当时尚不清楚这一新披露究竟为何。威廉森告诉我：“那条推文太离谱了，一连串的加号和减号，看起来像某种暗号。”他很快意识到，这其实是所谓哈达玛矩阵系列中的下一个。最早的几类哈达玛矩阵早在1867年便已得到描述，自那以后，这类矩阵一直令数学家们着迷，每隔二三十年左右便会涌现出新的突破与洞见，最近的一次是在2004年。就在不久前的一场报告中，威廉森还鼓励数学家们去寻找下一个哈达玛矩阵。而就在X平台上，它果然出现了。“起初我简直惊呼：‘太棒了！’”威廉森对我说。可随后他发现，Alpöge发布的不止是下一个矩阵——“还有再下一个、再再下一个”，他补充道。通常，解决这类问题的人会公开其求解过程与方法；多年来，数学家们一直通过开放获取网站arxiv.org自由分享自己的研究成果。然而，人工智能公司却并非如此行事。Anthropic并未公布任何记录，以说明其解决方案是如何得出的。威廉森表示，他仿佛感觉整个数学的花园都被摧毁了。“那真是最糟糕的情景——就像在说：‘答案来了，就是四十二。’”

不到一个月后，OpenAI便发布了其关于纳维—斯托克斯方程的成果。此前一天，纽约大学教授特里斯坦·巴克马斯特发表声明称，他与阿尔珀格在人工智能的协助下，已在寻求该方程解法方面取得了重大进展。而OpenAI为抢先一步投入了价值数百万美元的算力资源，却表示仅用不到一周时间便达成了这一突破。在巴克马斯特的声明中，他担忧OpenAI曾接触过他的研究成果——他与阿尔珀格曾使用过OpenAI的公开Codex模型以及其他多款大型语言模型——但该公司对此予以否认。据巴克马斯特透露，负责该解决方案的OpenAI团队负责人塞巴斯蒂安·布贝克曾向他提出，愿将其列为论文共同作者，条件是必须同意不将阿尔珀格列入作者名单。巴克马斯特断然拒绝。当他扬言要公开自己与OpenAI的往来时，布贝克似乎回应道：“你为什么要毁掉自己的职业生涯？”

最初的一批二十五位菲尔兹奖得主——其中包括陶哲轩——发表了一封公开信，指出“解题只是实现概念性理解和洞察这一首要目标的工具与手段”。信中还指出，解题与洞察正在逐渐脱节。“这封信点出了某些不当做法，这一点是正确的，”威廉森表示，“但更广泛地看，我认为数学界此前并未像应有的那样充分应对人工智能即将带来的现实挑战，而这种状况在信中也多少有所体现。这封信所反映的，其实早在半年前就已经成为现实了。”

据说苏格拉底曾担忧，书写会损害我们的记忆——而苏格拉底那个时代的人们，或许确实比我们任何人更能长久地记住《奥德赛》的长篇段落。然而，《菲尔兹奖信》指出，使用人工智能并不只是把背诵诗歌或电话号码这类记忆负担卸下而已；它更类似于将白日梦、辩论与思考本身也一并“卸载”或绕过。问题不在于人类会过快地掌握过多知识，而在于他们对事物的理解会越来越浅薄——最终甚至会低于我们今天的理解水平。“我们这一行最宝贵的资源，是学生与思想，而我们必须以极大的用心去呵护它们，”信中写道。数学是一门鲜活的学科，也是一种口传的传统，而不仅仅是书面的学问。从事数学研究者的象征，是一块黑板——它所承载的知识，在被真正领会之后便可以擦去，因为那已化作内在于心的智慧。

数学界尚未就OpenAI是否真正解决了纳维—斯托克斯方程这一问题达成共识，该问题迄今仍未得到人类的严格验证。普林斯顿大学教授查理·费弗曼曾为克雷数学研究所撰写过纳维—斯托克斯方程问题的表述。“我认为这很可能是正确的，”费弗曼对我说。这台人工智能所采用的方法，源自他的前学生迭戈·科尔多瓦及其前学生路易斯·马丁内斯-索罗亚的构想。“因此，除了其他人可能有的种种感受之外，我也为他们的成就感到由衷的欣喜，”费弗曼表示。

费弗曼与陶哲轩一样，都是少年天才，早早便荣获菲尔兹奖，二十出头就已成为数学教授。如今他已七十七岁。我问他，从事数学研究时的感受究竟如何？他告诉我，有时他会向非数学专业人士形容这种体验：仿佛在与魔鬼下棋，“只不过你可以把走错的棋步再撤回来。” 那个魔鬼可厉害多了——“他一次又一次地把你碾得粉碎”。可你又不得不从头再来，尝试各种不同的思路，结果依然被击溃，百思不得其解。“但总有一天，你会灵光一现，”费弗曼说，“整个过程中，总有那么一位天使在你耳边低语：‘不，不，把他的象给钉住！’” 起初，那声音轻得几乎听不清，可渐渐地，它越来越清晰，“而你的耳朵也愈发敏锐。” 直到某一天，你终于赢下了一局。可下一局开始时，你又回到了原点。“这正是我热爱数学家这一职业的原因，”费弗曼说，“哪怕你有一千个笨主意，只要有一个真正的好点子，你就算是个好数学家。而在许多其他领域，可就没这么容易了。”

和我交谈过的每个人一样，费弗曼也表示，究竟数学的未来会如何发展，其实谁也说不准。他既看到了悲观的情景，也看到了乐观的前景，并且认为，未来的图景很可能是两者的某种混合。在一种乐观的情景下，他设想人工智能将拓展可供探讨的问题范畴。他解释道：有时你会有一种思路，觉得它成功的概率只有百分之五；你可能会想：“算了，这事恐怕得花上一辈子才能弄清楚。”“但这和‘好吧，它有百分之五的成功几率，而且我两天就能搞明白’是完全不同的，”费弗曼说。“我认为，人们会变得更加勇敢、更加富有想象力，从而获得更大的自由。”他还指出，过去数学家既需要原创性，又需要扎实的技术功底；他曾见过一位极具原创性的数学家，却在给大一新生授课时迷失了方向。“我觉得，人工智能终将接管主导权，”费弗曼说，“作为数学家，我们难免会产生焦虑。但我也相信，人工智能很可能成为推动数学进步的强大加速器，而我们的任务，就是适应这种全新的数学研究方式。”

“我觉得菲尔兹奖得主们的那封信很有价值，”麻省理工学院的数学家约翰·乌尔舍尔对我说，“不过我也明白，它在数学界之外可能不太容易被理解。我甚至看到有人这样说：‘我们解决癌症研究问题的速度太快了，为了整个学科的发展，必须放慢脚步！’” 乌尔舍尔与阿尔珀格是好友，他记得三四年前阿尔珀格曾说过，人工智能将终结他们所熟知的数学。“我当时觉得他完全丧失了理智，”乌尔舍尔说。

所谓高斯消元法中的一个深层难题，多年来一直牵动着乌尔舍尔的心。在长达十年的时间里，他制定了一套研究方案，坚信终有一天能够破解这一难题。然而，随着有关埃尔德什问题的人工智能解决方案陆续见诸网络，他开始担忧时间所剩无几。“于是我便加快了脚步，”他说，“当时有一位博士后研究员里卡夫·沙赫协助我。”不到一周，沙赫就告诉乌尔舍尔：“他听说有人正投入大量算力来攻克高斯消元法中的相关难题”，沙赫认为他们应当考虑引入人工智能。乌尔舍尔表示赞同：“于是我就按月支付那两百美元，或者类似费用，”随后他们便与GPT‑5.6 Sol和Claude Fable 5展开合作。

乌尔谢尔向我详细介绍了与人工智能的合作过程：“我先问它：‘你能解决这个问题吗？’它回答说不能，还表示我不该告诉它的那些内容根本就不是真的，”他回忆道。“于是我说：‘好吧，这里有一个具备某些性质的物体，而你先前并不认为这种性质真的存在。’”随后，他陆续向人工智能输入了自己研究方案中的一个个步骤。这场“对话”你来我往，乌尔谢尔不断引导人工智能沿着他的研究方向推进，而人工智能则以一种令人不快、一味逢迎的口吻回应。乌尔谢尔随即要求它改用直率、坦诚的语气。最终，竟然“蹦”出了一项既正确又“极其难看”的结果。

埃尔德什将那些格外简洁而优美的证明——那种能让人获得深刻洞见的证明——称为“直接出自天书”，他所说的“天书”指的是上帝之书，尽管他本人并不相信上帝的存在，并把上帝戏称为“S.F.”，即“至高法西斯”。埃尔德什在十九岁时发表的第一篇数学论文，是对切比雪夫关于素数定理的一个证明；这一结论此前早已被证出。然而，埃尔德什给出了一种更为简明、精炼且富有启发性的新证法。相比之下，人工智能生成的证明（至少目前）往往与“直接出自天书”的证明相去甚远。当乌尔舍尔看到那篇由人工智能辅助完成的证明时，他感慨道：“我想，好吧，我们可以把这段证明经过人工加工，让它变得如此优美而直观。”随后，乌尔舍尔与沙阿发表了他们的研究成果，并在文末附上了一份详尽的注释，明确区分了哪些步骤完全由人类独立完成，哪些则得到了人工智能的协助。

乌尔谢尔的研究计划催生了多项新颖而重要的成果。在求职时，沙阿已拥有一篇颇具分量的学术论文作为履历。然而，乌尔谢尔却并无半分庆祝之意。“请听我说清楚：这对我来说毫无乐趣可言，”他说，“真正的乐趣早在我把问题交给那个计算机程序之前就已经消逝了。而与人工智能就此展开对话——那可一点也不好玩。”他回忆起自己小时候曾深深迷上逻辑谜题。令他着迷的，正是身处迷雾之中、奋力摸索前行之路的那种感觉。“最有趣的部分从来不是理解，而是苦苦挣扎去理解，”他说道，“把所有答案都写在纸上，反倒是最无趣的环节。”

“数学一直过着某种‘双重生活’，”他指出，而人工智能带来的压力正使这种状况愈发明显。在学科之外的人看来，数学既重要，即便再抽象，也往往能催生出各种意想不到的应用，比如公钥密码学和全球定位系统。“这正是人们申请经费时惯常讲述的故事，”乌尔舍尔说，“但这个故事并不属实，而且从来都不曾属实。”或者说，至少在很大程度上并非如此。乌尔舍尔认为，每位数学家都把自己视为介于科学家与艺术家之间的一个位置。“在我看来，所谓更偏重‘科学家’的取向，就是力求以最快的速度、尽可能地将知识的边界推向更远；而‘艺术家’的视角则是：让我去创造一些优美而令人愉悦的东西，去驾驭这些对象，而这一过程本身，说到底，确实是一件充满喜悦的事。”

乌尔谢尔的履历在数学家当中颇为罕见。他曾作为职业橄榄球运动员效力于巴尔的摩乌鸦队长达三年，同时还在麻省理工学院攻读博士学位。他的妻子是本杂志的一名撰稿人。我问他接下来有什么打算。“嗯，我们打算养条狗，”他说，“而且在我的研究领域里，还有许多数学工作等着我去完成。”他的一些学生想从事人工智能方向的研究，对此他并不反对；另一些学生则不愿涉足这一领域，他也同样坦然接受。（“我有两个信奉纯素主义的人工智能研究者呢，”他补充道。）

陶还告诉我，那种认为数学具有实际应用价值的说法，充其量也不过是半真半假。他自己的研究中，有些确实促成了更廉价、更快速的核磁共振成像技术；但更多的研究，却源于好奇心、求知欲与玩乐之心。他还给我讲了一个关于数学家约翰·康威的故事：他在普林斯顿时就认识康威，而康威的办公室里堆满了各种本质上就是谜题和玩具的东西。“我记得有一次，他想学会如何‘看见’四维空间，”陶说，“他推论道，既然我们的眼睛实际上只能感知二维——正是两眼之间的距离产生了视差，使我们得以获得仿佛三维的视觉——于是他就发明了一种奇特的潜望镜装置，一种装有镜子的眼罩，好让视差不仅在水平方向上，也在垂直方向上发挥作用。他以为这样就能帮他把四维空间可视化。”康威造出了这个装置，戴着它四处走动，看上去就像个疯狂的科学家。“可他说，这玩意儿唯一带给他的，不过是头痛而已，”陶对我说。

陶哲轩从未解决过埃尔德什于1985年与他分享的那个问题。这一难题最终由阮辉和范武在2010年给出了解答。不过，陶哲轩确实攻克了另一个著名的埃尔德什问题——一个早在1930年前后便已提出、被称为“埃尔德什不一致问题”的课题。这一直是这位匈牙利数学家最为钟爱的难题之一，据说他在晚年尤其频繁地提起它。从某种意义上说，这个问题可以被理解为：对于一个无限延续的硬币抛掷序列，当你每隔一格、每隔两格，或以任意固定步距取样时，这个序列是否必然会出现“失衡”现象？另一位数学家詹姆斯·格赖姆则通过将其转化为一则趣味谜题，使这一问题更加通俗易懂：一个人被困在前方是愤怒的毒蛇、后方是万丈深渊的绝境之中，而每一次硬币抛掷就相当于向前或向后迈出一步，问题：他能否成功存活下来？你可以直接在网上搜索答案，当然，也可以先自己试着去探索。♦

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