【解题研究】新定义“单弧三角形”——2026年北京中考数学第28题

【解题研究】新定义“单弧三角形”——2026年北京中考数学第28题

三角形的概念在小学已经接触过，在初中阶段开始系统学习三角形相关的基础知识，例如边、角、中线、角平分线、高等，并对三角形进行两种分类；而在九年级学习扇形的时候，老师会告诉学生，其实扇形也可以近似看作一个三角形，只不过它有一条边是弧，两边是圆的半径。在这个基础上，若一个三角形有一条边是弧，另两边不是半径，便是本题中的单弧三角形的雏形了，当然，这样的三角形研究起来需要综合的概念更多，所以需要对其进行一些必要的限制。

对称的概念同样也是自小学接触，初中阶段我们学习了轴对称、中心对称，习惯上我们把它们作为特殊的全等，但这种习惯并非对称的全部含义，并非只有几何图形才存在对称，当我们在学习画二次函数图象时，表格也呈现出一种数学上的对称，当我们用坐标定义这些数对时，直观上也是一种轴对称，教学中，不宜限制学生的思维，让学生认为对称只能来自于几何图形。

题目

对于不共线的三点A，B，C，连接AB，AC，并作劣弧BC，使得弧BC所在圆的圆心在过点A且与BC平行的直线上，称由AC，AB和弧BC组成的的图形为单弧三角形，记作△A-弧BC，其中弧BC所在圆的圆心称为△A-弧BC的弧心。

(1)如图1，点A(-2,-1)，B(-3,1)，C(1,1).直接写出△A-弧BC的弧心的坐标及弧BC的长；

(2)如图2，点D(-2√3,2)，E(2,0).

当△D-弧EF的弧心为O时，求点F的坐标；

(3)已知点M(1,0).对于平面内的点N，存在点P，Q满足△P-弧MN和△Q-弧MN的弧心

均为O，△PMN和△QMN都不是钝角三角形，且PQ=1，记N的横坐标为t，直接写出t的取值范围.

解析：

01

(1)对单弧三角形的解读中，最关键的是理解“弧BC所在圆的圆心在过点A且与BC平行的直线上”，如下图：

从这段描述中可以解读的信息是，直线OA平行于弦BC，点O在弦BC的垂直平分线上；

根据这个解读来看第1小题，就十分简单了，如下图：

作线段BC的垂直平分线，再过点A作BC的平行线，两线相交于点D，则点D即为所求弧心，坐标为(-1.-1)，此时弧BC的长为√2π；

02

(2)连接OD，过点E作OD的平行线，再过点O作OD的垂线，以这条垂线为对称轴，作点E关于它的对称点F，如下图：

过点D作DA⊥x轴，根据D坐标，可得∠AOD=30°，于是∠OEF=30°，∠OFE=30°，∠FOD=30°，所以可以求出∠AOF=60°，再过点F作FB⊥x轴，在Rt△BOF中，求得OB=1，BF=√3，即点F的坐标为(-1,√3)；

03

(3)第一步，点N在哪儿？

根据单弧三角形的理解，先有弧MN，再有点P和点Q，且弧MN的圆心是点O，可知M，N在以O为圆心，半径为1的圆上，这是问题的第一步；

第二步，P和Q在哪儿？

再来理解存在性，我们知道点P和点Q均在同一条直线上，这条直线平行于线段MN，再加上PQ=1，所以我们可以理解成PQ是一条线段的两个端点，这条线段在平行于MN的直线上移动；

最后来解释“都不是钝角三角形”，请注意这个“都”字，这也是本题的难点。由于PQ∥MN，所以P，Q，M，N恰好可以围成一个梯形，特殊情况下，梯形也可能是平行四边形或矩形，如下图：

通过作草图可以发现，△PMN和△QMN的类别并非一致，即有可能其中一个是钝角三角形，另一个是锐角三角形，所以，究竟有没有合适的位置，让这两个三角形都属同一类三角形呢？

当△PMN是锐角三角形时，△QMN也是，由前面三幅图可知，P，Q必须在点O两侧，而为了保持性质的一致性，我们想到的就是轴对称，即点O为线段PQ中点，这样无论△PMN是什么形状，△QMN都与它相同；

可能会有学生不理解，一定要对称吗？不对称行不行？我们用上图一、三来理解，当△PMN和△QMN中有一个是锐角三角形时，另一个是钝角三角形，那这种情况不符合题目要求“都不是钝角三角形”，所以这个“都”字要求这两个三角形同类，而为了同类，对称是最佳选择。

至此，我们解决了问题的第二步，PQ是以O为圆心，0.5为半径的圆上的直径，且这条直径与MN平行；

第三步，MN有多长？

现在对于四边形PQMN，它是一个等腰梯形，显然当PQ>MN时，△PMN和△QMN始终是钝角三角形，所以PQ≤MN，即MN≥1，这是问题的第三步；取临界点，当MN=1时，则△OMN为等边三角形，此时点N坐标易求，为(1/2,√3/2)，即t≤1/2；

第四步，PQ和MN距离多远？

仅仅只是靠MN的长度是无法确定△PMN和△QMN形状的，我们作图时可以发现，当两条线段距离比较近的时候，也有可能都是钝角三角形；由于第三步中我们限制了MN≥1，且在第二步中也知道了点O是PQ中点，于是∠PMN和∠PNM均为锐角，唯有∠MPN不确定，如下图：

我们发现，MN与PQ间的距离有可能影响到∠MPN的大小，那究竟如何影响呢？这就需要再引入一个新的圆，以MN为直径的圆，如下图：

当点P在圆K内时，∠MPN为钝角，当点P在圆K上时，∠MPN为直角，当点P在圆K外时，∠MPN为锐角；我们寻找其中的临界点，当∠MPN=90°时，看此时点N的横坐标如何求，如下图：

连接OK，ON，PK，过点N作NA⊥x轴于点A，先观察两个直角三角形，Rt△POK和Rt△OKM，不妨设圆K半径为k，则由勾股定理可得PK²=OP²+OK²，OM²=OK²+KM²，所以

PK²-OP²=OM²-KM²，得

而△OMK∽△NMA，得OM:NM=MK:MA，可求出MA=5/4，于是OA=1/4，即点N横坐标为-1/4，综上所述，-1/4≤t≤1/2.

解题思考

很多学生会有疑问，在探索∠MPN大小的时候，为什么以MN为直径的圆K能帮助判断角的大小？我们回顾九年级数学上册的一道教材习题，如下图：

还记得这道题目吗？当初是不是只用到了直径所对的圆周角是直角？没有进一步思考？下面我们来挖掘一下它：

对于圆O而言，AB是它的一条直径，点C在圆上，点D在圆内，点E在圆外，显然∠ACB=90°，而由三角形外角可知∠ADB>∠ACB，∠AEB<∠ACB，结合C，D，E三个点的位置，可知当点在圆内，圆上，圆外时，它与线段AB分别构成钝角三角形、直角三角形、锐角三角形；

证明这个结论是很简单的事情，但想到用它来判断三角形的形状，却并不容易，这并不是说要将它归纳为某某解题模型，没有必要专门还弄个二级结论，只是这些推理方法，学生需要在合适的时候想到。

在合适的时候想到合适的方法，这就是核心素养，大道至简。

本题中只讨论了点N在一、二象限的情况，那么在第三、四象限呢？我们知道圆是对称图形，在一、二象限存在，同样在三、四象限也存在，只需要将上述过程以x轴为对称轴转换即可。

解析中的四步也不是死规定，顺序可以调整，根据学生第一时间想到的方向，解决相应的步骤。