Quanta：博士生证明分形量子不确定性原理

导语

不确定性原理是量子力学的核心结论，其数学本质根植于傅里叶变换，描述了函数空间域与频率域此消彼长的约束关系。分形不确定性原理将这一思想延伸至具有自相似、多孔特征的分形集合，解释了经典混沌与量子混沌的本质差异。一维情形已于2016年得到证明，但高维推广长期存在理论障碍。2026年麻省理工学院博士生Alex Cohen引入 “线多孔性” 条件，借助复分析工具完成高维分形不确定性原理证明。该成果不仅完善调和分析理论，也为双曲空间等混沌系统的波动力学研究提供全新工具。

关键词：分形不确定性原理，傅里叶变换，调和分析，分形，混沌系统，高维空间

王璇丨作者

赵思怡丨审校

文章题目：Graduate Student Proves a Quantum Uncertainty Principle for Fractals 文章链接：https://www.quantamagazine.org/graduate-student-proves-the-fractal-uncertainty-principle-20260812/ 发表时间：2026年8月12日 文章来源：Quanta Magazine

这套融合混沌理论、量子理论与无限复杂分形结构的数学成果，被称作一项 “奠基性结论”。

图1：高维空间中波函数传播与分形混沌的抽象示意图

在量子尺度下，微观粒子会表现出奇异的行为。其中一大根源便是不确定性原理：你对一个量子粒子的位置了解得越精确，对它运动速度的认知就越模糊，反之亦然。最近，这条经典理论迎来一次意义重大的拓展。

新的不确定性原理和分形有关：无论把图像放大多少倍，分形的复杂程度始终保持不变。

大约十年前，麻省理工学院数学家Semyon Dyatlov（谢苗・佳特洛夫）就在研究：处于相同混沌环境中时，量子粒子的行为是否会和普通粒子有所不同。处于混沌运动状态的物体，有时会被束缚，永远沿着类分形轨迹运动。那量子粒子是否也会出现这种情况？

量子粒子会像波一样向外弥散，自身精确位置会变得模糊。为弄清量子粒子是否会因为弥散效应过强，而无法形成这类复杂的束缚轨迹，佳特洛夫需要一套全新的不确定性原理，一套可以处理分形问题的原理。

2016 年，依托著名数学家Jean Bourgain（让・布尔甘）（这项工作完成后不久他便离世）提出的关键思路，佳特洛夫证明了一维分形的分形不确定性原理。一维分形表现为锯齿状线条，这类线条可以描述二维平面内物体的运动轨迹，比如台球桌上滚动的台球。同年秋天，佳特洛夫与布尔甘在新泽西组织了一场研讨会，集结全球各地数学家，希望把该证明拓展到更高维度。拓展后的证明既可以用来研究三维现实世界，本身也会成为一套普适的数学工具。

图2：Alex Cohen（亚历克斯・科恩）

但这项工作难度远超预期。参会者之一、索邦大学数学家Frédéric Naud（弗雷德里克・诺德）回忆，研讨会结束时，“几乎没人相信这件事能够做成”。

数年之后，麻省理工学院博士生Alex Cohen（亚历克斯・科恩）终于取得突破。2025 年，他在数学界顶刊《数学年刊》发表论文，将分形不确定性原理推广到全部高维情形。该成果也成为他的博士毕业论文，25 岁的他也借此获得纽约大学助理教授职位。

高等研究院的Peter Sarnak（彼得・萨纳克）评价，分形不确定性原理是 “一项奠基性成果”，“一个博士生能做出这样的成果，相当了不起”。

该原理已经揭示出量子粒子与经典粒子之间一处全新的深层差异。

弹球机的启示

不确定性原理在粒子物理中看似晦涩，但也会以不那么神秘的形式出现。声音持续时间越短，我们就越难确定它包含的音调。短促的雷达脉冲可以精准定位潜艇，却需要更长的信号才能判断潜艇的运动状态。

包括量子版本在内的所有不确定性原理，都源自同一个数学内核。这套更深层的数学不确定性原理具备广泛适用性，几乎可以作用于任意函数（也可以粗略理解为任意曲线，无论它多么崎岖无序）。它来自 19 世纪诞生的一个方程 —— 傅里叶变换。该变换以法国数学家约瑟夫・傅里叶命名，可以把任意函数拆解成一系列不同频率（音调）的简单波，把这些简单波叠加，又可以还原出原始函数。

不确定性原理就蕴含在傅里叶变换之中。无限延展在整个空间的简单正弦波，拥有唯一确定的频率，因此它的傅里叶变换是一个单独的尖峰。而军鼓的敲击声在空气中表现为一个脉冲，它的傅里叶变换会覆盖很宽的频率范围，对应一段没有明确音调的声音。

图3： 正弦波只有一个确定频率（傅里叶变换为单一尖峰），而鼓点是一段脉冲（频谱很宽）

图4：函数越窄，其傅里叶变换就越宽，反之亦然

一般来说：函数本身越窄，它的傅里叶变换就必然越弥散，反之亦然。换句话说：你对函数在空间中的峰值位置掌握得越确定，对它的频率（随时间的变化方式）就越不确定。

在量子力学中，粒子被数学描述为波，波的峰值对应粒子最有可能出现的位置。这列波的傅里叶变换描述粒子的运动。这正是量子粒子的位置和动量无法同时被精确测量的根源：二者通过傅里叶变换相互关联。

但如果我们对一个分形形态的函数做傅里叶变换，又会发生什么？

要理解这个问题，我们可以看一个简单分形：取一条线段，切为三段，去掉中间一段；不断重复这个操作，把剩下的每一段再三等分，删掉中间部分。最终得到的分形集合叫做康托尔集。这个集合具备数学家所说的 “多孔” 特性：在任意尺度下，集合内部都布满孔洞，就像海绵。

图5：康托尔集：反复删去线段的中间段，得到处处有洞的“多孔”分形

想象这个康托尔集位于x轴上，集合上的每一个点，都对应一个频率的峰值。

分形不确定性原理指出：如果把这组分形分布的频率对应的波叠加在一起，得到的曲线就不能再是分形，它不可以具备多孔特性。反过来也成立：如果对一个分形形态的函数做傅里叶变换，输出结果就不能是一组分形分布的频率。

图6：把康托尔集放在 x 轴上，每个点对应一个频率峰

图7：分形不确定性原理：类分形的频率集叠加出的曲线，不可能仍是"多孔"的分形

这类分形形态的函数听起来十分罕见，但数学家研究量子粒子（或者更广义的波）在混沌环境中的行为时，就会频繁遇到它们。

就像弹球机里乱撞的弹珠，处于混沌状态的物体会在整个空间内无规律运动。哈佛大学数学家Elena Kim（埃琳娜・金）说：“观察它的运动轨迹，看起来就像随手画的乱线。”

图8：哈佛大学的数学家 Elena Kim（埃琳娜・金），已用分形不确定性原理理解非常规空间中的混沌系统

但少数情况下，物体可以在混沌之中找到稳定状态。在平面弹球机里，一颗弹珠可以永远被困在三个缓冲挡板之间来回弹跳。它不会重复完全相同的路径，但会始终被限制在挡板之间，每一次撞击的落点都有细微差别。如果你标记出弹珠撞击挡板的每一个位置，就会发现这些标记点构成类似康托尔集的结构。

这一堆标记点也被叫做分形尘埃。绝大多数撞到挡板的弹珠都会飞离出去，“剩下的就是这堆尘埃”，加州大学伯克利分校的Maciej Zworski（马切伊・兹沃尔斯基）解释道。

但分形不确定性原理告诉我们：波和弹珠不一样，波无法被束缚在分形轨迹上。如果你试图把一束波限制在三块挡板之间，波就会向外泄漏、逃逸。

佳特洛夫表示：“量子混沌和经典混沌之间确实存在本质区别，而不确定性原理，就是我们用来研究这种区别的工具之一。”

未竟的知识

2021 年，科恩进入麻省理工学院，他自称是一名 “年轻、充满干劲的调和分析学者”。调和分析这一数学方向，专门研究函数与其傅里叶变换。读博期间，他听过很多佳特洛夫关于分形不确定性原理的报告。科恩回忆：“每场报告结尾，他几乎都会说：‘我们还没有高维版本的分形不确定性原理，真希望我们能把它做出来。’我当时就想，好吧，这看起来是个很有意思的研究课题。”

可很快，他的热情就遭遇现实阻碍。数学家已经知道，很多场景下分形不确定性原理在高维空间会失效。科恩面临的第一个难题，就是找到一套清晰的判定条件，排除这些失效的情况。

图9：谢尔宾斯基地毯：反复删去正方形网格的中心方块；它有很多洞，但仍能画出完全落在其中的直线。

分形的典型特征就是多孔，也就是处处都能找到孔洞。二维分形谢尔宾斯基地毯就是例子：把正方形不断切分成更小的方格，反复挖掉中心方格。但这个图形虽然孔洞众多，却可以在它内部画出一条完整连续的直线。

这类直线会直接破坏分形不确定性原理。竖直线的傅里叶变换是水平线，反之亦然。在二维及更高维空间中，这两种直线都属于分形——因为直线不占据面积，周围绝大部分空间都是空白，满足孔洞密布的条件。因此，只要一个分形内部包含完整连续的直线，分形不确定性原理就不再成立。

科恩需要定义一套更严格的 “多孔” 概念。他提出了线多孔性：在这个分形上，无论你画哪一条直线，直线都会频繁穿过孔洞。他的证明把不满足该条件的分形排除在外，普通的谢尔宾斯基地毯就被排除；但如果修改谢尔宾斯基地毯，制造更多空白区域，修改后的版本就满足该条件。

图10：线多孔性：分形上任何一条直线都应碰到许多洞——一种更严格的"多孔"条件。

确立好前提假设之后，科恩正式着手证明。他很快意识到，这个问题和他之前处理过的所有傅里叶相关问题都截然不同。“我用尽了自己掌握的全部工具，没有一个能沾上边。”

陷入困境后，他回头仔细研读佳特洛夫与布尔甘的一维版本证明，想要彻底搞懂其内在逻辑。

佳特洛夫和布尔甘的证明用了一套并不常见的思路：他们把分形函数的一个个峰值单独剥离出来，证明每一个峰值的傅里叶变换都会向外弥散；把所有峰值的傅里叶变换叠加之后，整体的傅里叶变换就无法高频归零，也就无法形成分形——不会拥有足够多的孔洞。

图11：Jean Bourgain（让・布尔甘）是横跨数学众多领域、发表过 500 多篇论文的作者。

想要单独剥离每一个峰值，就需要构造一个特殊函数：把它和原始分形函数相乘，就可以单独提取出这一个峰值，而在其余位置取值几乎为零。这个函数叫做阻尼函数，需要高度定制化。科恩坦言：“构造这样一个东西难度很高。” 但他明白，如果能在高维空间实现阻尼函数，整个证明的大门就会被打开。

科恩向佳特洛夫请教构造该函数的思路。布尔甘在 2018 年末离世之前，也在为这个难题苦苦思索，他把自己未发表的笔记留给了佳特洛夫，佳特洛夫又把笔记给到科恩。“布尔甘是传奇的分析学家，” 科恩说，阅读这些笔记就仿佛 “接过他留下的未竟的知识”。

图12：MIT 的数学家 Semyon Dyatlov（谢苗・佳特洛夫），于 2016 年证明了一维分形不确定性原理。

笔记中恰好给出了科恩需要的关键提示。“当时我大为震撼，” 科恩说，“这直接解开了整个难题。”

在读到这份笔记之前，科恩也构思过几种构造阻尼函数的方案，但那些方案极其复杂精密，就像一砖一瓦搭建房屋。而笔记给出了一个出人意料的思路：绕路进入复分析领域（研究包含虚数，例如负数平方根这类虚数的函数）。借助复分析，科恩得以构造出一个灵活得多的对象，再用它间接得到阻尼函数。

科恩本科阶段的导师，耶鲁大学的William Schlag（威廉・施拉格）评价：“要构造出满足这么多特殊性质的对象绝非易事，整个过程十分精巧。二维空间里，还没有人知道怎么做，而亚历克斯完成了这个绝妙的构造。”2023 年 5 月，科恩把证明论文发布到网上，震惊了数学界。

“他的论文写得非常漂亮，给所有人留下深刻印象。” 施拉格说道。后来科恩才发现，布尔甘笔记里的这个技巧并非什么秘传绝学，它来自上世纪 60 年代一个著名定理——博尔林‑马利亚万定理。科恩笑称：“我一度以为自己拿到了独家内部资料，后来才发现圈内人早就知道这个办法。”

倘若当时他就知道这是圈内人都尝试过的方法，自己或许早早就放弃了。“正因为我不知道很多人已经试过这条路，我才有充足的信心往下推进。”

万花筒般的混沌

科恩公布自己的成果之后，其他数学家立刻用这套工具，完成大量关于波在混沌环境中行为的全新证明。

自然界中，湍流、天气这类系统都存在混沌：初始状态相差极小的物体，后续演化会产生巨大的差异。这类系统过于复杂，很难直接用数学描述。于是研究混沌的数学家常会借助一种天然自带混沌属性的特殊空间——双曲空间。

在双曲空间中，平行线会急剧发散，越往远处延伸，彼此距离就越大。（球面正好相反，球面上的平行线会互相靠拢）。这就意味着物体之间微小的初始差距，后续会被无限放大——这正是混沌的标志性特征。

图13：双曲空间中平行线剧烈发散——混沌的标志。

佳特洛夫说：“当然，这和预测天气完全不是一回事。但双曲空间给数学家提供了一个简单的混沌模型。我们研究力所能及的对象，把现象剥离出来单独分析，这是数学研究很常用的思路。”

2017 年，佳特洛夫与清华大学金龙利用一维分形不确定性原理证明：波永远无法被束缚在双曲曲面上，波一定会不断扩散，最终抵达曲面的每一处角落。

他们做了这样一个设想：假设曲面上存在一块区域，无论给波多少时间向外传播，波都永远无法抵达。把所有会进入该区域的运动轨迹全部剔除，剩下的集合，就和前面弹球例子中的分形尘埃完全一致。而分形不确定性原理禁止波被束缚在分形集合上，因此这样一块无法抵达的区域根本不可能存在，波必须扩散到全部空间。

2025 年，埃琳娜・金与俄克拉荷马大学的Nicholas Miller（尼古拉斯・米勒），借助科恩的高维分形不确定性原理，把上述结论拓展到更高维的双曲空间。萨纳克评价：“这是高维分形不确定性原理迄今为止最惊艳的应用。”

许多数学家希望进一步证明：处于混沌状态的波，不仅会铺满整个空间，还会在整个空间上实现完全均匀的分布。这是萨纳克与Zeev Rudnick（泽夫・鲁德尼克） 1994 年提出的著名猜想，该猜想还和数论领域存在关联。金表示：“这是一个重大的公开猜想，很多学者都为之投入，难度非常大。”

如果猜想得证，就说明处于混沌中的波，在微观尺度上行为看似随机、充满变化，但在宏观层面却表现简单。

佳特洛夫用莫奈的画作打比方：“凑近看，画面满是微观细节，一道道笔触错综复杂。但往后退远一点眯起眼睛看，画面就变成一片均匀的色彩。” 这和经典混沌截然不同：经典体系中的物体，是可以被困在复杂精细的轨迹之中的。

分形不确定性原理带来的影响，不会止步于量子混沌。傅里叶分析的工具渗透数学诸多分支，也是所有信号处理相关产业的底层基础。萨纳克总结：“这是傅里叶分析领域的一条基础性结论，它的全部应用潜力，我们至今还没有完全挖掘出来。”

报名读书会：「非线性动力学与混沌」

集智俱乐部联合北京师范大学张江科研组联和南信大李春彪科研组师生共同发起，由师生共同领读《非线性动力学与混沌》，以分章节精读的方式，带领大家系统学习非线性动力学的基本理论与典型模型，结合洛伦兹系统、Kuramoto模型等经典案例，深入探讨混沌的起源、分形与奇异吸引子等前沿问题。

本读书会不仅读书，还会系统化地梳理本书中的重要概念，并整理为百科词条。也就是说，读完本书，我们会梳理出一套非线性动力学与混沌相关的百科词条，这才是重点。

我们也会通过梳理词条的方式，让学员组成学习小组进行比赛，最终会评出优秀学习小组获得复杂科学知识卡、汪小帆签名的《非线性动力学与混沌》、张江签名的《规模法则》、以及译者签名的《复杂-诞生于混沌与秩序边缘的科学》以及特色集智文化衫！

详情请见：

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.