新书上市 | 中国数理统计学奠基人陈希孺院士写给青少年的最后一部统计学入门书，6个故事讲清"统计思维"！

陈希孺，中国科学院院士，是中国数理统计学奠基人之一。1956 年武大数学系毕业，1961 年起在中科大任教。1934 年生于湖南长沙，2005 年 8 月去世。

这本《写给青少年的统计学》，是他留给青少年的最后一本书，修订自他的经典《统计学概貌》。

跨越30年的修订版，不是简单的重印，是院士心血的重新出发。

教育部新课标把"概率与统计"列为中小学必修单元。小学统计图、初高中概率统计、高考压轴——从小学到高考，统计学是数学的必修线。

但统计学是什么？如何学习统计学？统计学有什么用？可能会遇到什么困难、误区？院士用 6 个故事讲清"统计思维"。这本书用生活的故事入门统计学。身边的案例人人都能理解。统计学，归根结底是一种科学的、高效的、应用广泛的思维方式。是小学生到成年人，都应该好好学习的科目。

《写给青少年的统计学》

作者：陈希孺

什么是统计学？什么是数理统计学？这两个问题，难以用简短的语言做一个明确、严谨而全面的回答。我打算先用通俗的语言做一个概括的论述，然后在适当的地方加以补充、解释，使读者对这两个问题有一个比较清楚的理解。

实践是认识的来源。所以，在研究一个问题时，往往首先要收集必需的资料。

比方说，少年犯罪与家庭情况的关系如何？跑步对中老年人的健康是否有益？或更细致一些，对各种年龄的人，在什么时间，以怎样的速度，跑多长的距离为好？受教育时间的长短与其收入的关系如何？吸烟是否会增加患肺癌的概率，增加多少？对一种产品的制造工艺做一些改变，是否有助于改善其质量，改善多少？凡此种种，都是很有现实意义的问题。

这类问题中，有的前人已做过一些研究，提出过种种见解。但前人的研究可能是在不同的条件下进行的（例如，针对不同的国家，受教育时间长短与收入的关系就有不同），有的还受到当时科技发展水平和其他因素的局限（例如，某项研究由于经费的关系，收集资料的规模很小），因此他们的结论不能照搬。如果所研究的是一个前人未接触过的新问题，那当然更不用说，收集资料这步工作是必不可少的。

收集资料的方法有两种：观察和试验。这两个词的含义的差别在于，在“观察”时，观察者可以说是处在被动的地位，他只是面对所感兴趣的事物，记录下“自然而然”发生的结果，而不去企图改变自己所观察的事物。天文观察是一个典型的例子。

在吸烟与患肺癌的关系的问题中，情况也是如此：你可以观察一个人是否吸烟、吸多少，观察他是否患肺癌；但你不能也不会去设法改变他的状况，比如，一个从不吸烟的人，不会应你的研究工作的要求而去吸烟。

而在“试验”中，试验者则处在主动的地位，可在一定范围内自由地控制某些因素，以考察它们对其他因素的作用。典型的例子如在工业试验中，工艺参数如何取，原料配方如何选择，都由试验者主动确定，目的是考察它们对产品产量和质量的影响。

从统计学的角度看，观察和试验都是收集资料的方法，因此，许多统计学著作混用了这两个词。但我们应注意到，有些统计方法的合理使用和解释，与资料是来自观察还是试验有关。

在不少情况下，收集的资料可以用数量的形式表达。

如一个人的月收入以人民币多少元计，可以用一个数表达。有时需要研究事物的若干个方面，则资料可以用若干个数（即一个向量）表达。例如，同时观察一个人的身高和体重，结果是一个二维向量。也有些情况，观察或试验所得只是事物所属的等级、类别等。例如，观察一个人的血型，结果一般为 A、B、AB、O 四类中之一；对一种酒的品尝结果，列入甲、乙、丙三等之一。这些，在必要时可以进行“数量化”。

例如，约定把 A、B、AB、O 四种血型分别对应数字 1、2、3、4。因此，在统计工作中，习惯上把所收集来的资料称为“数据”，或者用“样本”这个专门术语，意思是一样的。

但是，认识并不是实践的直接产物。为研究一个问题而收集的资料，一般是一大堆杂乱无章的数，从中看不出什么道理来。

比如说，为研究吸烟与患肺癌的关系，观察了 5000 人，逐一记下每人每日抽烟多少支、抽烟史多长、是否为肺癌患者、患病多久等资料，订成一大厚册。泛泛翻阅这本册子，得不出多少见解。

因此，需要把数据加以整理，从中提取出与所研究的问题最有关的信息，并以简明、醒目的方式表达出来。例如，一种可能的整理方式如下：把所观察的 5000 人按“不吸烟”“每天吸 10 支以下”“每天吸 10 ～ 20 支”“每天吸 20 支以上”分组，从收集的资料中算出各组的肺癌发病率，并画成一张图，便很容易看出，肺癌发病率随吸烟量的增加而上升的趋势，以及这个趋势的强度。

再举一个例子：为考察大学毕业后工作 10 ～ 30年的人员的工资收入状况，在这类人中抽取了 10 000 人进行观察，记下每人目前月工资数，可以得到共 10 000 个数据。计算其算术平均值，即

就可以对这批人的收入的总状况或平均状况，有一个了解。如果要进一步了解收入参差不齐的情况，需要引入另外的指标，例如

愈大，参差不齐的程度就愈大。这个指标 能给我们一些启示： 太小，说明收入没有适当拉开档次，可能与平均主义有关； 太大，则说明资历较浅的工作者收入太低，

可能反映了某种问题。因此，通过整理数据得到的这两个指标和 ，以易于理解的方式告诉了我们不少东西（或者说，以简明的方式总结了这一大批资料的信息）。

如果想了解得更细致些，可以按固定时间间隔（如 1 年、5 年等）对样本分组，算出每个毕业年限区间内的人目前的月平均工资，并用列表或画图的方式给出结果。自然，因为所研究的问题不同、数据形式不同，整理的方法也会有差别。可以说，在什么情况下该用怎样有效的方式去整理数据，属于统计学的研究范围。

按一定的方式整理数据，往往也就构成对数据的一种分析。例如，分析上例中的数据可得出：大学毕业后工作年限每增加一年，平均月工资增长多少。在吸烟与患肺癌关系的例子中，分析所收集的数据，可以知道日吸烟支数每增加 5 支，或吸烟年限每增加 5 年，肺癌的发病率增加多少。

但无论对数据进行整理还是分析，都没有越出所得数据的范围。也就是说，分析所得的结果只对现有这批数据有效。

就上例来说，设想分析结果是：大学毕业后每多工作一年，平均月工资多 2 元（本书首次出版于 1989 年，因此，书中有些数据体现的是当时社会状况，但这不影响我们对数学的理解，故此类数据予以保留。）。这结果只是针对所抽查的这 10 000 人来说的。

在我国，大学毕业后工作 10 ～ 30 年的，何止10 000 人？我们真正感兴趣的，是这些工作人员的全体，而不止于所抽出做调查的这一小部分。

这样，我们就需要向前跨一大步：基于所收集到的数据及对其进行整理和分析的结果，以及对数据所来自的总体的有关情况，做出一定的论断。这种论断叫作“统计推断”，其具体形式，依问题中要求的不同而不同。

所谓“数据所来自的总体”是指与所研究的问题有关的所有个体的集合，如在上例中，总体就是我国目前尚在的、大学毕业后工作了 10 ～ 30 年的全体工作人员。若这样的工作人员有 200 万人，则本问题的总体中包含 200 万个个体。

被抽出做调查的那 10 000 个个体（即样本），是其一部分。由于在本问题中，我们关心的不是具体的人而是其月工资，因此也可以说，总体和样本分别由 200 万个数和 10 000 个数构成（其中可以有重复的）。

这实际上就构成了一种抽象，而且是很重要的抽象，因为这使我们摆脱总体及样本的具体属性，便于我们运用数学的方法，对不同的具体问题做出统一的处理。

如上文所述，统计推断的对象是总体的有关情况，即因我们的研究目的而对之感兴趣的那些情况。

在上例中，我们感兴趣的可以是总体平均值，即总体中 200 万名工作人员的月平均工资 ，如果所抽查的那 10 000 名工作人员的月平均工资为 （元），那么未知的a是否就等于90 ？当然不一定。

但也容易了解，这二者之间会有些关系。关系的大小和性质，取决于这 10 000 名工作人员是如何抽得的。从总体中抽出的个体的数目（在此为 10 000），在统计学上称为“样本大小”——不难理解，样本愈大， 与“一般”就应愈接近。此外，这还与总体的数学性质，即所谓数学模型有关。这一点留待后面再做解释。

统计推断的具体形式，依问题的要求而异。就此例而言，问题的要求可能是：根据样本，对总体平均值a做一估计。

这种问题称为估计问题，是在理论上被研究得最深入，在应用上最常见、最重要的一类统计推断问题。总体平均值a刻画了总体在某一个方面的性质，称为总体的“参数”。

因此，在统计学中，像估计总体平均值 a 这类问题通常称为“参数估计问题”。直观上，我们觉得应当用样本平均值（在本例中为 90）去估计a 。这个方法，即按样本算出的值去估计总体的相应值，是一个重要而常用的估计方法。

当我们声明采用了估计方法时，我们就做出了一种统计推断，因为在这样做时，我们已越出了所掌握的样本的范围，而论及了样本所来自的总体。

有的读者可能会问：“这样一个似乎是纯粹形式上的步骤，能有多大意义？”其实不然。跨出这一步是不简单的。比方说，“用估计a ”会有误差，这误差有多大，用怎样的形式表达出来，需要用到以深刻的数学理论为基础的统计方法。

又如，用估计a也并非理所当然的唯一可行的方法。在此列举一种可以设想的估计方法：把所得的 10 000 个数据按大小排序，取出居于正中的那两个，设为和 （若数据个数为奇数，则只有一个恰居正中，那就以之代替下文的），取其平均

去估计a 。 称为样本的“中位数”。用 估计a ，在直观上也是讲得通的。 和 这两个估计哪个较好？在什么意义下较好？这是深刻的理论问题。除此之外，还可以设想出其他种种在直观上看来也合理的估计方法。我们需要证明： 这个估计在理论上具有某种优良性，这样，用估计a才有坚实的基础。彻底解决这个问题，涉及统计学上多方面的理论问题。由此可见，正如我曾指出的，跨出这一步并非易事。

再举一例。在研究吸烟与患肺癌的关系问题时，我们首先感兴趣的可能是一个初步的问题：这二者到底是否有关？而暂不计两者关系的深浅与其确切性质。

这个问题可以较具体地解释如下：设如前所述，我们观察了 5000 人，记录了每个人是否吸烟与是否患肺癌的情况，经对数据的初步整理和分析，觉得二者似有些关系。

但是，由于这5000 人只是地球上的成年人中的很少一部分，仅凭这 5000人的数据而推及地球上的全体成年人，有多大的可靠性？或更清楚地说，你在这 5000 人中分析出的关系，是纯出于偶然性，还是确实反映了一种适用于全体成年人的规律性？这个问题与上例中估计a的问题不同，它只要求回答一个“是”或“否”（是纯出于偶然性，或否）。

这在统计学上称为“假设检验”问题。它与参数估计并列为统计学中两类基本推断问题，在理论上有深入发展且有重要应用。名称的由来是，当在统计学上处理这类问题时，要先引进一个有关的假设。比如在本例中，引进了“吸烟与患肺癌无关”这个假设，然后，用样本去“检验”这个假设是否成立。

具体地说，我们通过分析所掌握的数据，看二者关系的大小如何：若关系不大，则不能排斥它来自抽样的偶然性，因而断言二者有关的理由不充足，这会导致我们不能拒绝上述假设；反之，若关系甚大，则仅以偶然性去解释是勉强的，因而有足够的理由断言二者有关，这会导致我们拒绝上述假设。

这里，“关系大小”如何刻画，以及导致拒绝或不能拒绝假设的界限如何划分，都需要统计学的理论。除上述两个例子以外，还有许多形式更复杂的统计推断问题，需要以深刻理论为背景的不同处理方法。

由此可见，撇开收集数据的问题不谈，统计学的中心问题，或者说其主要内容，就是统计推断。统计学之所以有如此广泛的应用，正是因为它在数学上成功地发展了一整套有关的理论，并在其基础上，制定出了针对一些常见的重要问题的统计推断方法。

就是收集数据的问题，也在一定程度上与统计推断的理论和方法有关，因为只有当数据的结构（这取决于用怎样的方式去收集数据）满足一定的条件时，才能对它运用适当的统计推断方法。不然的话，所收集的数据就不好处理。

以上在谈论统计推断问题时，我们是以一种科学研究的眼光去看待它的，即它是以弄清事实为目的，不计较什么利害关系。

有一类问题，通称为“统计决策问题”或“统计判决问题”，与统计推断问题有关，但又有差异。

有关的地方是：统计决策问题的解决也要基于收集的数据，并使用统计推断理论中提供的种种方法。不同之处在于：决策（也常称为判决，或行动）要产生经济上的后果。

在实际做决策时，不仅要考虑到统计推断上的结果，还必须把经济上可能的后果结合进来。

例如，有一批产品包含很多件，要估计该批产品的废品率P ，则可以在该批产品中抽取若干个做检查，以样品中的废品率 去估计P 即可。但是，如果这批产品是工厂对商店的供货，而商店经理要决定是否接收这批货，则问题并非简单地估计废品率P 。

这是因为，接收或拒收该批产品，都有经济上的后果。例如，若拒收，则商店当日无该货可出售，要损失利润；但如果接收这批货，则有可能因废品率 p 较大，而得不偿失。

商店经理做决策，除了要考虑到P的估计值以外，还须把每件废品的损失和出售每件合格品的利润结合考虑进来。另举一例：某工厂的设计试验部门通过适当安排的试验，并使用一定的统计推断方法，搞清楚了原料配方与产品性能之间的关系。

但不同的配方涉及成本、原材料来源（这与运输费用也有关系）与消费者喜好，即市场前途问题，在最后做决策（即选用一种确定的配方用于生产）时，统计推断的结果自然是重要的。

只有在统计学家、专业生产人员、经济师和市场分析人员的共同参与下，才能做出适当的决策——当然，这中间涉及的问题并非全是统计性的。

到这里，我们已说明了统计学是干什么事的。现在小结一下，我个人对统计学提出了一个比较完整的定义：统计学是一门科学，它研究怎样以有效的方式收集、整理、分析带随机性的数据，并在此基础上，对所研究的问题做出统计性的推断，直至为可能做出的决策提供依据或建议。

在这个定义中，有两点在上文未仔细交代：一是“有效的方式”的含义，这涉及数据收集工作中的具体做法问题，这个重要问题将在第 2 章仔细论述；二是“带随机性的数据”的含义。

《写给青少年的统计学》

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作者：陈希孺

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书中通过讨论“偶然性”“机遇”等生活中常见的现象，通俗地介绍了概率和统计的基础知识，讲解了收集和分析数据的基本思路。此外，作者详细阐述了数理统计分析的思维与方法。