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一百多年前，一位印度小职员寄出的几页手稿，让剑桥大学的数学家们大吃一惊。如今，这些神秘公式中最著名的一对，终于被证明只是一座“无穷宝库”的入口。
来自美国多所高校的数学家发现，著名的罗杰斯—拉马努金恒等式背后藏着一个几何世界，而且同类恒等式有无穷多个。
更令人瞩目的是，这一猜想的证明借助了人工智能的力量，并由计算机完成了逐行验证。
一、天才手稿里的百年谜题
1912年，24岁的斯里尼瓦瑟·拉马努金还只是印度马德拉斯港务局的一名职员。他把大量未经证明的公式寄给英国数学家，其中剑桥大学的哈代慧眼识珠，邀请他前往英国。
哈代后来评价，拉马努金是一位最高水准的数学家，拥有非凡的原创力。
拉马努金短暂的一生只有32年，却留下了数千条公式，至今仍是数学家挖掘不尽的富矿。
在那些手稿中，有两个公式格外神奇。等号一边是无穷多项的求和，另一边是无穷多项的连乘，两者看上去毫无关联，却精确相等。
连拉马努金和哈代自己都无法证明它们。后来人们才发现，英国数学家罗杰斯早在19世纪末就在一份冷门期刊上给出过证明，这对公式因此得名罗杰斯—拉马努金恒等式。
1916年，英国数学家麦克马洪给出了一种直观解读：它们其实是在比较两种“拆数”方式的数量。
一种是把整数拆成彼此至少相差2的数之和，另一种是只用个位为1、4、6、9的数来拆分。以数字6为例，两种方法恰好都有3种拆法。
在20世纪的大部分时间里，这对恒等式被看作一个孤立的奇迹。
直到上世纪70年代初，美国宾夕法尼亚州立大学的安德鲁斯等人才找到了一个无穷家族，把它推广开来。
此后，它又陆续出现在表示论、对称函数乃至物理学中，例如描述气体原子在表面排布的“硬六边形模型”。
二、一个扭结揭开几何真相
新发现的起点，来自一位年轻数学家的“数矩阵”游戏。
目前在美国埃默里大学做博士后的黄一峰（Yifeng Huang，音译），在密歇根大学读研究生时开始研究一个问题：有多少对可以相互交换的矩阵，能满足某条曲线的方程。
对于光滑的曲线，这个问题相对容易；可一旦曲线上出现“掐尖”的奇点，计算就变得棘手起来。
当黄一峰计算奇异曲线y²=x³时，他惊讶地发现，得到的结果恰好重现了罗杰斯—拉马努金恒等式的一边。他直觉判断，这绝不可能是巧合。
美国马萨诸塞大学阿默斯特分校的数学家奥布洛姆科夫为此提供了几何图景。
想象用一个微小的四维球面包住那个奇点，曲线穿过球面时留下的轨迹，恰好是一个三叶结，也就是数学中最简单的一种纽结。于是，数论里的百年公式、几何里的奇点和拓扑学中的纽结，被一根看不见的线串在了一起。
三、AI助攻打开无穷宝库
黄一峰、现就职于加州大学伯克利分校的蒋若凡（Ruofan Jiang，音译）与奥布洛姆科夫，于今年8月在预印本网站arXiv上提出猜想。对于任意两个互素且大于1的整数a和b，曲线xᵃ=yᵇ对应的矩阵计数，都会化为一个罗杰斯—拉马努金型恒等式。
这意味着，每一个a都对应一整个恒等式家族，而a等于2时，正是安德鲁斯等人当年发现的那个家族。每条曲线又对应一种纽结，a等于2、b等于3时是三叶结，其他情形则是更复杂的环面纽结。
9月，黄一峰与弗吉尼亚大学数学家小野健、Axiom Math公司数学家肯尼·刘合作，在arXiv上贴出了这一猜想的证明。
他们借助了Axiom Math公司开发的AI系统AxiomProver，用它来探索思路，并将证明翻译成Lean形式化语言，交由计算机自动核查。整个证明横跨五个数学分支。
形式化验证的好处在于，每一步推理都必须经得起计算机的严格检查，几乎不给疏漏留下空间。对于如此跨领域的复杂证明，这无疑大大增强了结论的可信度。
小野健形容这一想法“令人震撼”，并认为人机协作正是数学家应当探索的方向。菲尔兹奖得主舒尔策也已发表论文，拓展了黄一峰的部分思想。
这项成果的意义在于，一个看似孤立的百年恒等式，被纳入一套更宏大的几何理论之中。
它不仅带来了无穷多个新的恒等式，还提示数学家：还有大量奇点等待研究，每一个都可能藏着新的公式。
奥布洛姆科夫已经开始研究另一种情形，用两个相互套住的圆环组成的霍普夫链环替代三叶结。
当年拉马努金凭直觉写下的公式，在一个多世纪后被几何与纽结重新照亮，也见证了人工智能走进纯数学研究的新时代。
或许正如这位传奇天才所展示的，数学最深的秘密，往往藏在最简洁的等式之中。
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